Sagot :
Réponse :
Bonjour, je vois que tu as eu un coup de main .
Explications étape par étape
exercice 1) Il faut calculer les dérivées secondes de f(x) ,
les solutions de f"(x) =0 sont les abscisses des points d'inflexion
Pour calculer ces dérivées f'(x) puis f"'x) tu appliques les formules vues en cours et que tu dois connaître.
(u*v)'=u'v+v'u ; (u/v)'=(u'v-v'u)/v² et (e^u)'=u'*e^u
A) f(x)=(e^-x)/(x+1)
f'(x)=[ -(e^x)(x+1)-1*e^-x]/(x+1)²=(-x-2)e^-x/(x+1)²
f"(x)={[-1e^-x-e^-x(-x-2](x+1)²-2(x+1)(-x-2)e^-x}/(x+1)^4
Après développement réduction et simplification tu dois arriver à:
f"(x)=[(x²+4x+5)*e^-x}/(x+1)³
on note que x²+4x+5=0 n'a pas de solution et est tjrs> 0 le signe de f"(x)dépend du signe de x+1
si x<-1, f"(x)<0 et la courbe est concave
si x>-1, f"(x) >0 et la courbe est convexe
injecte f(x) dans ta calculatrice pour vérifier
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B) f(x)=(x+1)e^-x² définie sur R
f'(x)=1(e^-x²)-2x(x+1)e^-x²= (-2x²-2x+1)e^-x²
f"(x)=(-4x-2)(e^-x²)-2x(-2x²-2x+1)e^-x²
on factorise e^-x²et après développement et réduction on arrive à
f"(x)=(4x³+4x²-6x-2)*e^-x²
les solutions de f"(x)=0 (éventuels points d'inflexion) sont les solutions de
4x³+4x²-6x-2=0 ou 2x³+2x²-3x-1=0
On note que x1 =1 est une solution évidente et notre équation s'écrit
(x-1)(ax²+bx+c)=0
en effectuant la division euclidienne littérale j'ai trouvé
(x-1)(2x²+4x+1)=0
si tu ne sais pas faire ce type de division fais par comparaison des coefficients.
les solutions de 2x²+4x+1=0 via delta sont x2=(-2-V2)/2=-1,7 (environ) et
x3=(-2+V2)/2=-0,35 (environ)
ces valeurs x1, x2, et x3 sont les abscisses des points d'inflexion
On dresse un tableau de signes de f"(x) pour déterminer les courbures de f(x)
x -oo -1,7 -0,35 1 +oo
x-1 - - - 0 +
2x²-4x+1 + 0 - 0 + +
f"(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) est concave sur ]-oo;-1,7[U]-0,35; 1[
f(x) est convexe sur ]-1,7;-0,35[U]1;+oo[
Nota : dans ta rédaction mets les valeurs exactes de x2 et x3 et non les valeurs décimales arrondies que j'ai calculées pour les positionner dans le tableau.
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exercice 2)
1)f(t)=a*e^(-t/5) +b sur [0; +oo[
la dérivée f'(t)=-(a/5)e^(-t/5)
on nous dit que (-a/5)e^(-t/5)+(1/5)[a*e^(-t/5)+b]=4
soit b/5=4 donc b=20
f(t)=a*e^(-t/5) +20
on sait que f(0)=1000 f
f(0)=a*e^0+20=1000 comme e^0=1 a=980
f(t)=980e^(-t/5)+20
2) dérivée f'(t)=(-980/5)e^(-t/5)
on note que f'(t) est toujours <0 donc f(t) est décroissante
quand t tend vers +oo, e^(-t/5) tend vers 0 et f(t) tend vers 20° (température ambiante)
3)Pour ouvrir le four sans risque il faut que la température soit <70°
Il reste à résoudre l'inéquation f(t)<70
soit 980e^(-t/5)<50
e^(-t/5)<50/980 ou e^(-t/5)<5/98
on passe par le ln
-t/5<ln5-ln98
donc t>(ln5-ln98)*(-5) ou t>5(ln98-ln5)
t>14,9 heures
15 heures après l'arrêt du four on pourra l'ouvrir
(nota dans ma réponse d'hier soir il y avait une étourderie)
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