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Sagot :
Réponse : Bonjour,
1) [tex]M(x;y)[/tex] est un point du demi-cercle C de centre O et de rayon 1 alors [tex]OM=1[/tex].
2) Démontrons d'abord que si [tex]M(x;y)[/tex] appartient à C, alors x²+y²=1.
On a [tex]OM=1[/tex], donc:
[tex]OM=1\\\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1 \Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=1^{2} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1[/tex]
Donc, si [tex]M[/tex] appartient à C, alors x²+y²=1.
Supposons maintenant que x²+y²=1, et montrons que [tex]M(x;y)[/tex] appartient à C, donc que [tex]OM=1[/tex].
On a:
[tex]x^{2}+y^{2}=1\\OM^{2}=1\\OM=-1 \quad ou \quad OM=1[/tex]
Une distance ne pouvant être négative, alors on exclut [tex]OM=-1[/tex], donc nécessairement [tex]OM=1[/tex].
Donc le point [tex]M[/tex] appartient au cercle C.
On a donc montré que si [tex]M[/tex] appartient à C si et seulement si x²+y²=1.
On en déduit qu'une équation de C est x²+y²=1.
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