Bjr,
Pour que ce soit défini il faut que l'expression sous la racine carrée soit toujours positif ou nulle. Or
[tex]\left( 4-\sqrt[3]{x}\right)^3=0\\\\<=> 4-\sqrt[3]{x} = 0\\\\<=> \sqrt[3]{x}=4\\\\<=> x=4^3=64[/tex]
En fait,
[tex]x^2+4x+16>0[/tex] pour tout x car le discriminant est strictement négatif et le signe du trinome est contant, de même signe que 16 par exemple.
de ce fait nous pouvons écrire
[tex](4-\sqrt[3]{x})=\dfrac{(4^3-x)}{4^2+4\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}\\\\=\dfrac{64-x}{16+4\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}}[/tex]
et donc f est définie pour 64-x positif ou nul donc, ce qui revient à
[tex]x\leq 64[/tex]
[tex]D_f=]-\infty;64][/tex]
2)
pour x dans I différent de 0, g est dérivable et
[tex]g'(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{\left( 4-\sqrt[3]{x}\right)}\times (\dfrac{-1}{3\sqrt[3]{x^2}})\\\\=-\dfrac{\sqrt{\left( 4-\sqrt[3]{x}\right)}}{2\sqrt[3]{x^2}}[/tex]
sur I privé de 0, g'(x) est strictement négative donc g est strictement décroissante sur I
g est continue et strictement monotone sur un intervalle I, c'est donc une bijection de I vers J.
f(0)=8
[tex]f(8)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex]
donc
[tex]J=[2\sqrt{2};8][/tex]
pour tout x de I,
[tex]x=g(g^{-1}(x))=\sqrt{\left(4-\sqrt[3]{g^{-1}(x)}\right)^3}\\\\<=> 4-\sqrt[3]{g^{-1}(x)}=x^{2/3}\\\\<=> \Large \boxed{\sf \bf g^{-1}(x)=\left( 4-x^{2/3} \right)^3}[/tex]
3)
[tex]f(x)=x\\\\<=> 4-\sqrt[3]{x}=x^{2/3}\\\\<=>\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}-4=0[/tex]
[tex]\Delta=1+4*4=17\\\\\sqrt[3]{x}=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}[/tex]
comme f(x) est positif sur IR, nous prenons la solution positive qui est
[tex]\Large \boxed{\sf \bf x=\left( \dfrac{\sqrt{17}-1}{2} \right)^3}[/tex]
Merci
