Explications étape par étape:
Bonsoir, on pose g(x) = sin(pi*rac(cos(x))). Alors g est définie si et seulement cos x >= 0.
Ce qui équivaut à x € [-pi/2 ; pi/2] modulo 2pi. (Par périodicité de la fonction cos). g est donc définie sur D = [-pi/2 ; pi/2] modulo 2pi.
Par la suite, g(0) = sin(pi) = 0. On peut préalablement affirmer que f(x) = [g(x) - g(0)] / x. On reconnaît le nombre dérivé de g en 0, encore faut-il prouver que g est dérivable en 0. Calculer la limite du taux d'accroissement de g en 0 ne nous aidera pas, forme indéterminée. On peut prévoir de l'infini, à gauche et à droite (division par 0), on ne pourrait pas conclure.
Il faut donc déterminer le domaine de dérivabilité de g, et logiquement, elle sera dérivable en 0.
On va appliquer le cours sur la dérivabilité des fonctions composées. g est définie comme étant la composée de 2 fonctions, r(x) = sin(x) et s(x) = pi*rac(cos(x)), avec g(x) = r(s(x)). De même, s est définie comme composée de w(x) = cos(x) et z(x) = rac(x), avec s(x) = pi*z(w(x)). w est dérivable sur R, avec w(R) = [-1;1]. z est dérivable sur w(R), à condition de ne conserver que les valeurs strictement positives, ce qui pose souci. Il faut donc trouver un intervalle précis, pour avancer correctement.
Considérons l'intervalle D obtenu précédemment, en excluant les valeurs annulant le cos. Posons K = D \ {-pi/2 ; pi/2} modulo 2pi = ]-pi/2 ; pi/2[ modulo 2pi, alors w est dérivable sur K avec w(K) = ]0;1]. z est dérivable sur w(K), on peut appliquer le cours : s est donc dérivable, par composition, sur K. Sur cet intervalle :
s'(x) = pi*[w'(x) * z'(w(x))] = pi*[-sin(x) * 1/(2*rac(cos(x)))].
En itérant ce raisonnement pour g, s est dérivable sur K, avec s(K) = pi*z(w(K)) = pi*z(]0;1]) = ]0;pi] par croissance de la fonction racine carrée. Par ailleurs, r est dérivable sur R, donc a fortiori sur K, g est donc dérivable sur K par composition. Sur cet intervalle :
g'(x) = s'(x) * r'(s(x)) = pi*[-sin(x) * 1/(2*rac(cos(x)))] * cos(pi*rac(cos(x))).
Or, 0 appartient à K, donc g est dérivable en 0 (on peut aisément le vérifier dans la forme de la dérivée finale), on obtient donc :
g'(0) = 0.
Ainsi, f est prolongeable par continuité en 0, en posant f(0) = 0. On pouvait aussi procéder avec des développements limites (beaucoup plus rapide), comme lim g(x) = 0 en 0, elle admet un DL etc. Ensuite on calcule son DL par composition, puis le quotient, on s'en sort aussi.
