Bjr,
[tex]\dfrac{\sqrt[3]{x^2+1}+x}{\sqrt[3]{1-x}-x^2}=\dfrac{x\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}}+1 \right)}{x^2\left( \sqrt[3]{\dfrac{1}{x^6}-\dfrac{1}{x^5}}-1\right) }[/tex]
Les termes entre parenthese tendent vers une limite finie en moins l infini
donc la limite est celle de 1/x qui tend vers 0 quand x tend vers moins l infini.
La réponse est donc 0.
Pour voir les choses avant de factoriser et de le prouver formellement, tu dois regarder ce qui va peser en l infini, en haut on a au max du x et en bas du max du x au carré, le x au carré va l emporter sur le x et du coup la limite de la fraction est 0.
Pour le 8) tan x en x proche se 0 c est comme sin(x) car cos(0)=1 du coup pour la limite ça serait pareil si c'était sin(x) au lieu de tan(x).
ensuite tu sais que la limite de sinx / x est 1 en 0, tu peux le voir comme un nombre dérivé.
Maintenant, avec le 8) tu as les racines qui posent problème, ce qui n'était pas le cas dans les autres.
Pour t'en débarrasser il faut multiplier par la partie conjuguée, tu as du voir ça dans ton cours pour les racines carrées et les racines cubiques. Ca repose sur ces formules
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]
Ici, nous pouvons écrire que
[tex]x =x+1-1= \sqrt[3]{x+1}^3-1^3=(\sqrt[3]{x+1}-1)(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)[/tex]
et donc en 0
[tex]\sqrt[3]{x+1}-1[/tex]
se comporte comme
[tex]\dfrac{x}{(\sqrt[3]{(0+1)^2}+\sqrt[3]{0+1}+1)}=\dfrac{x}{3}[/tex]
et ainsi l'expression que nous recherchons se comporte en 0 comme
[tex]\dfrac{x}{3sin(x)}[/tex] qui tend vers 1/3.
La limite est donc 1/3.
Pour l'écrire formellement
[tex]\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{tan(x)}=\dfrac{x}{tan(x)}\times \dfrac{1}{(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}[/tex]
le facteur à droite tend vers 1/3 et le facteur à gauche tend vers 1 donc la limite est 1/3.
9)
On fait de même
[tex]\dfrac{\sqrt[3]{x^2-4}-1}{x+2}=\dfrac{x^2-4-1}{(x+2)(\sqrt[3]{(x^2-4)^2}+\sqrt[3]{x^2-4}+1)}\\\\=\dfrac{x^2-5}{x+2} \times \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x^2-4)^2}+\sqrt[3]{x^2-4}+1}[/tex]
pour x=-2 le numérateur est -1, la partie de droite est 1
et x+2 est positif tendant vers 0
donc l'expression tend vers moins l infini quand x tend vers -2 à gauche.
Essaye de faire les derniers pour voir si tu as bien compris, et poste une question si tu bloques.
Merci
