Bienvenue sur Laurentvidal.fr, où vous pouvez obtenir des réponses fiables et rapides grâce à nos experts. Rejoignez notre plateforme de questions-réponses et connectez-vous avec des professionnels prêts à fournir des réponses précises à vos questions. Découvrez la facilité d'obtenir des réponses rapides et précises à vos questions grâce à l'aide de professionnels sur notre plateforme.
Sagot :
Bonjour,
1) f est définie sur IR
[tex]f(x)=x<=> 3\sqrt[3]{x^2}=3\sqrt[3]{x}\\\\<=>x^2=x\\\\<=>x(x-1)=0\\\\<=> x = 0\ ou\ x = 1[/tex]
Les solutions sont donc 0 et 1
2) f est dérivable en x différent de 0 et
[tex]f'(x)=1-3\times \dfrac{2}{3} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\\\\=1-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\\\\=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}}\\\\=\dfrac{(\sqrt[3]{x}-1)^2}{\sqrt[3]{x^2}}[/tex]
Pour x différent de 0 et 1, f'(x) est strictement positif.
Nous savons que si f'(x) est strictement positif sur un intervalle I alors f est strictement croissante sur I.
Ici, seuls deux cas sont particuliers en x = 0 et x = 1
La question 1) permet de dire que 0 est l'unique de 0 par f et 1 est l'unique antécédent de 1 par f. Ainsi avec la monotonie de f, f(0)=0 et pour tout x > 0 f(x)>0
f(1)=1 et pour x<1 f(x)<1 et pour x>1 f(x)>1
donc f est strictement croissante sur IR+
b. f continue sur IR+ et strictement monotone.
De ce fait, f est un bijection de IR + vers IR+
c. Nous savons que pour tout a et b
[tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex]
si je prends [tex]a=\sqrt[3]{x}[/tex] et b = 1
[tex](\sqrt[3]{x}-1)^3=x-3\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}-1=f(x)-1[/tex]
et donc
[tex]x=f(f^{-1}(x))=1+\left( \sqrt[3]{f^{-1}(x)}-1 \right)^3\\\\\left( \sqrt[3]{f^{-1}(x)}-1 \right)^3=x-1\\\\\Large \boxed{\sf \bf f^{-1}(x)=(1+\sqrt[3]{x-1})^3}[/tex]
merci
Revenez nous voir pour des réponses mises à jour et fiables. Nous sommes toujours prêts à vous aider avec vos besoins en information. Nous apprécions votre visite. Notre plateforme est toujours là pour offrir des réponses précises et fiables. Revenez quand vous voulez. Nous sommes heureux de répondre à vos questions. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de réponses.