Bonjour,
1) u est une fonction polynômiale sur IR, à ce titre elle est continue sur IR.
u est donc continue sur [0;1] et u(0)=-1, u(1)=4, u(0)u(1)<0 donc il existe un réel dans [0;1], tel que
[tex]u(\beta)=0[/tex]
en fait, [tex]\beta[/tex] est différent de 0 car u(0)=-1
De plus, u est dérivable et
[tex]u'(x)=12x^3+6x^2=6x^2(2x+1)[/tex] est strictement positive sur [0;1], donc u est continue et strictement monotone sur [0;1] u est donc une bijection de [0;1] vers [-1;4] ce qui assure l'unicité de [tex]\beta[/tex].
Nous remarquons que [tex]\beta[/tex] vérifie donc
[tex]u(\beta)=3\beta^4+2\beta^3-1=0<=> \beta^3(3\beta+2)=1<=>3\beta+1=\dfrac{1}{\beta^3}[/tex]
2) La limite à gauche de [tex]\beta[/tex] est
[tex]\sqrt[3]{3\beta+2}[/tex]
et la limite à droite de [tex]\beta[/tex] est
[tex]\dfrac{1}{\beta}[/tex]
pour que f soit continue en [tex]\beta[/tex] il faut et il suffit que sa limite à gauche et à droite soit égale et que ce soit [tex]f(\beta)[/tex], or d'aprés la remarque faite dans le 1
[tex]3\beta+1=\dfrac{1}{\beta^3}<=>\sqrt[3]{3\beta+2}=\dfrac{1}{\beta}[/tex]
donc f est bien continue en [tex]\beta[/tex].
Merci
