Bonjour,
J'espère que tu as réfléchi à l'exercice en t'aidant de mon indication. Voici ma correction.
a) La fonction [tex]t \mapsto \dfrac{t^2}{\sqrt{\sin(t^7+t^2)}}[/tex] est définie et continue sur [tex]]0,1][/tex] (car [tex]\sin(t^7+t^5)>0[/tex] pour [tex]0<t\le1[/tex]).
Le seul problème est donc en 0.
On va donc trouver un équivalent de l'intégrande quand t tend vers 0.
[tex]\sin(t^7+t^5) \underset{t \to 0}{\sim} t^5[/tex]
donc (on peut appliquer des puissances à un équivalent) :
[tex]\sqrt{\sin(t^7+t^5)} \underset{t \to 0}{\sim} t^{5/2}[/tex]
d'où finalement (on peut faire des quotients d'équivalents) :
[tex]\dfrac{t^2}{\sqrt{\sin(t^7+t^5)}} \underset{t \to 0}{\sim} \dfrac{t^2}{t^{5/2}}=\dfrac{1}{\sqrt t}[/tex]
et [tex]t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt t}[/tex] est intégrable en 0 (intégrale de référence).
En conclusion, [tex]\int^1_0 {\dfrac{t^2}{\sqrt{\sin(t^7+t^5)}} \, \mathrm{d}t[/tex] existe bien.
b) La fonction [tex]x \mapsto \cos(\mathrm{e}^{2x})[/tex] est définie est continue sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex].
Le seul problème est donc en [tex]+ \infty[/tex].
Pour moi, le plus simple est de faire le changement de variable [tex]u=\mathrm{e}^{2x}[/tex] (attention à vérifier qu'il est bien licite : c'est parce que [tex]x \mapsto \mathrm{e}^{2x}[/tex] est [tex]C^1[/tex] et bijective de [tex]\mathbb{R}_+[/tex] dans [tex][1,+\infty[[/tex]).
Par les théorèmes généraux, [tex]\int^{+\infty}_0 {\cos(\mathrm{e}^{2x})} \, \mathrm{d}x[/tex] a donc même nature que [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\cos(u)}{2u}} \, \mathrm{d}u[/tex] donc que [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\cos(u)}{u}} \, \mathrm{d}u[/tex].
On cherche donc à déterminer la nature de [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\cos(u)}{u}} \, \mathrm{d}u[/tex].
Par intégration par parties, sous réserve d'existence des intégrales et du crochet :
[tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\cos(u)}{u}} \, \mathrm{d}u=\left[\dfrac{\sin(u)}{u}\right]_1^{+\infty}+\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\sin(u)}{u^2}} \, \mathrm{d}u[/tex].
Comme le crochet converge [tex]\left(\dfrac{\sin(u)}{u}} \underset{u \to + \infty}{\to} 0\right)[/tex], [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\cos(u)}{u}} \, \mathrm{d}u[/tex] a même nature que [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\sin(u)}{u^2}} \, \mathrm{d}u[/tex].
Or, pour tout [tex]u \in [1,+\infty[[/tex], [tex]\left|\dfrac{\sin(u)}{u^2}} \right| \le \dfrac{1}{u^2}[/tex] et [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{1}{u^2}} \, \mathrm{d}u[/tex] converge (intégrale de référence).
Ainsi, par comparaison, [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\sin(u)}{u^2}} \, \mathrm{d}u[/tex] converge donc [tex]\int^{+\infty}_1 {\dfrac{\cos(u)}{u}} \, \mathrm{d}u[/tex] converge.
En conclusion, [tex]\int^{+\infty}_0 {\cos(\mathrm{e}^{2x})} \, \mathrm{d}x[/tex] converge.
c) La fonction [tex]x \mapsto \arctan(\frac{1}{x})[/tex] est définie et continue sur [tex][1,+\infty[[/tex] (je t'encourage à le vérifier, cela vient du fait que [tex]0\le x\le 1 <\frac{\pi}{2}[/tex] sur cet intervalle).
Le seul problème est donc en [tex]+\infty[/tex].
On fait donc un équivalent :
[tex]\arctan(h) \underset{h \to 0}{\sim} h[/tex]
donc, en posant [tex]h=\frac{1}{x}[/tex] ([tex]h \to 0[/tex] quand [tex]x \to +\infty[/tex]) :
[tex]\arctan(\frac{1}{x}) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x}[/tex].
Or, la fonction [tex]x \mapsto \frac{1}{x}[/tex] n'est pas intégrable en [tex]+\infty[/tex] (intégrale de référence), donc [tex]\int^{+\infty}_1 {\arctan(\frac{1}{x})} \, \mathrm{d}x[/tex] diverge (et vaut [tex]+\infty[/tex] car l'intégrande est positive).
Voilà. N'hésite pas à demander des précisions !
