Bonjour,
Exo 2
Soit la fonction f qui a tout x >0 associe
[tex]f(x)=x-\sqrt{x}[/tex]
f est dérivable et
[tex]f'(x)=1-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}[/tex]
f'(x) est négative pour 0<x<1/4
nulle en 1/4
positives pour x>1/4
et f(1)=0
Nous avons le tableau suivant
[tex]\left| \begin{array}{|c|ccccccc}x&0&&1/4&&1&&\\---&---&---&---&---&---&---\\f'(x)&||&-&0&+&+&+\\---&---&---&---&---&---&---\\f(x)&0&\searrow&-1/4&\nearrow&0&\nearrow\end{array}\right|[/tex]
f est continue sur [tex][1/4;+\infty[[/tex], et strictement monotone, donc f est une bijection, de ce fait pour a et b dans [tex][1/4;+\infty[[/tex], a différent de b implique que f(x) est différent de b, ce qui s'ecrit
[tex]a\neq b=>a-\sqrt{a}\neq b-\sqrt{b}\\\\a+\sqrt{b}\neq b+\sqrt{a}[/tex]
Exo 3
[tex]1=(ax+by)^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy[/tex] Or
[tex]2(bx)(ay)\leq (bx)^2+(ay)^2 \ car \ 0\leq (bx-ay)^2=(bx)^2+(ay)^2-2abxy[/tex]
donc
[tex]1=(ax+by)^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy\leq a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)\\\\<=> \dfrac{1}{x^2+y^2}\leq a^2+b^2[/tex]
