Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, tu peux soit utiliser le binôme de Newton, soit effectuer une division euclidienne, soit utiliser des propriétés spécifiques sur les racines de polynômes (méthode la plus efficace).
X^2 + X = X(X+1) divise P, si et seulement si 0 et -1 sont racines de P. Auquel cas, P peut se factoriser par X et X+1 (théorème fondamental en algèbre).
En remplaçant X par 0 puis par -1, on s'aperçoit que P(0) = 0 et P(-1) = 0, donc X(X+1) divise P.
-1 est racine double de P, si et seulement -1 est racine double de P' (la dérivée de P). P est dérivable car il s'agit d'un polynôme, avec :
P'(X) = (2n+1)*(X+1)^2n - (2n+1)*X^2n.
En remplaçant X par -1 : P'(-1) = -(2n+1)*(-1)^2n = -(2n+1). -1 est donc racine double de P, si 2n+1 = 0, autrement dit, n = -1/2, ce qui est impossible.
Donc -1 n'est pas racine double de P
