Raeloeg
Answered

Bienvenue sur Laurentvidal.fr, le site où vous trouverez les meilleures réponses de la part des experts. Explorez une mine de connaissances de professionnels dans différentes disciplines sur notre plateforme de questions-réponses complète. Connectez-vous avec une communauté d'experts prêts à vous aider à trouver des solutions précises à vos interrogations de manière rapide et efficace.

Bonsoir, pouvez vous m'aidez pour cet exercice sur les complexes d'équations de 2nd degré ? Merci d'avance :)

Equation du second degré à coefficients complexes : un exemple

Soit l’équation (E) : z²+(2i)z+(1+i)=0 . On pose a=1 , b=2i , c=1+i

1° On pose : Δ=b²−4ac . Calculez Δ

2° En utilisant les formules du paragraphe précédent, déterminer un complexe d tel que d²=Δ

3° On pose : [tex]z_{1}[/tex]=\frac{-b-d}{2a} et [tex]z_{2}[/tex]= \frac{-b-d}{2a}[/tex]. Ecrire ces complexes sous leur forme algébrique.

4° Vérifier que ce sont les deux solutions de l’équation (E) (utiliser la calculatrice...)

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ z² + 2iz + (1+i) = 0

■ 1°) discrim Δ = (2i)² - 4(1+i) = -4 - 4 - 4i = -4i - 8

■ 2°) (a+ib)² = a² - b² + 2abi = -8 - 4i donne

         ab = -2 ET b² - a² = 8

         b = -2/a ET 4/a² - a² = 8

         b = -2/a ET 4 - a^4 = 8a²

         b = -2/a ET a^4 + 8a² - 4 = 0

         b = -2/a ET (a²-0,472) (a²+8,472) ≈ 0

         b = -2/a ET a² ≈ 0,472

         b = -2/a ET a ≈ 0,687

         donc Δ = ( 0,687 - 2,911i )²

         d' où d = √Δ ≈ 0,687 - 2,911i

■ 3°) racines :

   z1 = ( -2i - 0,687 + 2,911i ) / 2 ≈ -0,34 + 0,46i

   z2 = ( -2i + 0,687 - 2,911i ) / 2 ≈ 0,34 - 2,46i

■ 4°) vérif :

   z1 + z2 = - 2i vérifié !

   z1 * z2 = 0,25 [ (2i)² - Δ ]

              = 0,25 [ 4i² + 4i + 8 ]

              = 0,25 [ 4i + 4 ] = (1 + i) vérifié aussi !

Merci de nous avoir fait confiance pour vos questions. Nous sommes ici pour vous aider à trouver des réponses précises rapidement. Nous apprécions votre temps. Revenez nous voir pour des réponses fiables à toutes vos questions. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de connaissances et de réponses de nos experts.