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Bonsoir, pouvez vous m'aidez pour cet exercice sur les complexes d'équations de 2nd degré ? Merci d'avance :)

Equation du second degré à coefficients complexes : un exemple

Soit l’équation (E) : z²+(2i)z+(1+i)=0 . On pose a=1 , b=2i , c=1+i

1° On pose : Δ=b²−4ac . Calculez Δ

2° En utilisant les formules du paragraphe précédent, déterminer un complexe d tel que d²=Δ

3° On pose : [tex]z_{1}[/tex]=\frac{-b-d}{2a} et [tex]z_{2}[/tex]= \frac{-b-d}{2a}[/tex]. Ecrire ces complexes sous leur forme algébrique.

4° Vérifier que ce sont les deux solutions de l’équation (E) (utiliser la calculatrice...)

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ z² + 2iz + (1+i) = 0

■ 1°) discrim Δ = (2i)² - 4(1+i) = -4 - 4 - 4i = -4i - 8

■ 2°) (a+ib)² = a² - b² + 2abi = -8 - 4i donne

         ab = -2 ET b² - a² = 8

         b = -2/a ET 4/a² - a² = 8

         b = -2/a ET 4 - a^4 = 8a²

         b = -2/a ET a^4 + 8a² - 4 = 0

         b = -2/a ET (a²-0,472) (a²+8,472) ≈ 0

         b = -2/a ET a² ≈ 0,472

         b = -2/a ET a ≈ 0,687

         donc Δ = ( 0,687 - 2,911i )²

         d' où d = √Δ ≈ 0,687 - 2,911i

■ 3°) racines :

   z1 = ( -2i - 0,687 + 2,911i ) / 2 ≈ -0,34 + 0,46i

   z2 = ( -2i + 0,687 - 2,911i ) / 2 ≈ 0,34 - 2,46i

■ 4°) vérif :

   z1 + z2 = - 2i vérifié !

   z1 * z2 = 0,25 [ (2i)² - Δ ]

              = 0,25 [ 4i² + 4i + 8 ]

              = 0,25 [ 4i + 4 ] = (1 + i) vérifié aussi !

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