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Bonjour svp c’est important est il possible de le faire avec tout les calculs en détails sinon je ne comprends pas

Exercice
On se place dans un repère orthonormé. On considère la droite (d) d'équation 4x + 7y + 10 = 0.
1. Montrer que les points A(-6;2) et B(1;-2) appartiennent à (d).
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (d') parallèle à (d) passant par C(2,16).
3. Déterminer une équation
cartésienne de la droite (d") perpendiculaire à (d) passant par B.
4. Résoudre le système suivant :
4x + 7y - 120 = 0
-7x + 4y + 15 = 0
5. En déduire les coordonnées du point d'intersection D de (d') et (d").
6. Déterminer un vecteur directeur de (AC).
7. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

Sagot :

laurance

Réponse :

Explications étape par étape

Exercice

On se place dans un repère orthonormé. On considère la droite (d) d'équation 4x + 7y + 10 = 0.

1. Montrer que les points A(-6;2) et B(1;-2) appartiennent à (d).

A(x=-6 ; y= 2)   4(-6)  +7(2)  + 10 = -24  + 14 +10 = 0  

B(  1; - 2)    4(1)   + 7(-2)   +  10 =  4 -14  + 10  =  0

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (d') parallèle à (d) passant par C(2,16).

(d')    4x + 7y + p = 0.  

C ( x= 2 ; y = 16)             4(2) +7(16) + p=0  

 8  + 112 + p= 0  

 p = -120

(d')    4x + 7y   -120  = 0.  

3. Déterminer une équation

cartésienne de la droite (d") perpendiculaire à (d) passant par B.

(d")    -7x +4y  + p=0  

B(  1; - 2)     -7(1)   + 4(-2)  + p=0  

        -7-8 + p= 0  

p = 15  

(d")    -7x +4y  + 15=0  

4. Résoudre le système suivant :

4x + 7y - 120 = 0              4x = 120  -7y           28x = 840  - 49y

-7x + 4y + 15 = 0               7x = 4y +15              28x = 16y  + 60

donc         16y +60 =  840 -49y

16y + 49y = 840 -60

65 y =     780             y=780/65   =  12  

4x =120 - 7(12)=  36   donc     x = 36/4 =9            

5. En déduire les coordonnées du point d'intersection D de (d') et (d").

D( 9 ;12 )  car    4x + 7y - 120 = 0    est   (d')  et   -7x + 4y + 15 = 0 est (d")

6. un vecteur directeur de (AC). est AC ( 2 - (-6)  ;  16  - 2)    AC ( 8; 14)

7. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

(AB) est  (d)   d'aprés  1.

(CD) est (d')   d'aprés   2. et  5  

or  (d) // (d')  

(BD)  est  (d")  d'aprés  3 et 5  et   (d)⊥(d")

de plus   un vecteur directeur de (d")  est   ( 7;4)   soit   1/2 AC ( 8;14)

ce qui prouve que  (AC) // (BD)

on en deduit que ABDC  est un rectangle

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