Bonjour,
(bₙ) : b₀ = 1 et pour tout n, bₙ₊₁ = bₙ/3 + n - 2
1)
initialisation : pour n = 5
b₁ = 1/3 - 1 = -2/3
b₂ = -2/9
b₃ = -2/27 + 1 = 25/27
b₄ = 25/81 + 2 = 187/81
b₅ = 187/243 + 3 = 916/243 ≈ 3,76....
Initialisation : pour n = 5
(n - 3) = 2
⇒ On vérifie bien que pour n = 5, b₅ ≥ n - 3
Hypothèse de récurrence :
On suppose que pour tout n ≥ 5, bₙ ≥ n - 3
Au rang (n + 1) :
bₙ₊₁ = bₙ/3 + n - 2
⇒ bₙ₊₁ = (n - 3)/3 + n - 2 par hypothèse de récurrence
⇔ bₙ₊₁ = n/3 + - 1 + n - 2
⇔ bₙ₊₁ = n/3 + (n - 3)
Or, pour tout entier n ≥ 5, n/3 ≥ 1
⇒ bₙ₊₁ ≥ 1 + (n - 3)
⇔ bₙ₊₁ ≥ (n + 1) - 3
La récurrence est donc démontrée.
2) lim (bₙ) ≥ lim n→+∞ (n - 3)
⇒ lim (bₙ) = +∞
