Réponse :
Explications étape par étape
Un entier de Gauss est un nombre complexe de la forme
g=a+ib où a et b sont des nombres entiers.
1. Montrer que la somme et le produit de deux entiers
de Gauss sont des entiers de Gauss.
g+g' =(a+a')+i(b+b')
gg' =(aa'-bb')+i(ab'+a'b)
2. Montrer que les seuls entiers de Gauss dont l'inverse
est aussi un entier de Gauss sont 1;-1;i et -i.
si g est un entier de Gauss alors a et b sont entiers
donc |g| = a² +b² est entier
et l'inverse | 1/g| = 1/(a²+b²) est entier
d'où a²+b² = 1
alors a² =1 et b=0 ou b² =1 et a = 0
d'où la réponse
3. Si g désigne un entier de Gauss, montrer qu'il existe
un polynôme de degré 2 à coefficients entiers qui
s'annule en g.
(z-g)² = z² -2gz + g² s'annule en g
4. a. Montrer que le quotient de deux entiers de Gauss
s'écrit sous la forme x+iy où x et y sont des nombres
rationnels.
g/g' = (a+ib)(a'-ib') / (a'2 + b'2) =( ( aa'+bb') + i( ba'-ab') ) / (a'² + b'²)
x = (aa'+bb') /(a'²+b'²) est un nombre rationnel comme y
b. le nombre complexe
1/2 + i V3/2 n’est
pas le quotient de deux entiers de Gauss. car [tex]\sqrt{3}[/tex] /2 n'est pas rationnel
