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Sagot :
Réponse :
vecteur AC = (xC-xA ; yC-yA) =(-8;-4)
vecteur BD = (xD-xB ; yD-yB) =(8;-16)
1)
vecteur AI = (-4:-2), soit I(2;1)
vecteur BJ = (4;-8), soit J(2;1)
2) I et J sont un meme et unique point qui est le point d'intersection des segments AC et BD qui sont les diagonales du quadrilatere ABCD
or I est milieu de AC et J milieu de BD, donc ABCD est un parallélogramme car leurs diagonales se coupent en leur milieu
3) ABCD est un losange si et seulement si les diagonales sont perpendiculaires, si le produit scalaire de leurs vecteurs est nul
produit scalaire entre vecteur AC et vecteur BD
AC.BD = xAC*xBD + yAC+yBD = -8*8 + -4*-16 = -64 + 64 = 0
ABCD est un losange
4) ABCD est un carré si la diagonale AC est égale à la diagonale BD
norme du vecteur AB = AB = √((xB-xA)² + (yB-yA)²)
AC = √(-8²+-4²) = √(64+16) = √(80)
BD = √(8²+-16²) = √(64+256) = √(320)
Explications étape par étape
Réponse :
1) justifier par calcul les coordonnées du point I milieu du segment (AC) et du point J milieu du segment (BD)
soit I(xi ; yi) milieu du segment (AC) : xi = (xc + xa)/2 = (6-2)/2 = 4/2 = 2
yi = (yc + ya)/2 = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1
Donc les coordonnées de I sont : I(2 ; 1)
soit J(xj ; yj) milieu du segment (BD) : xj = (xd + xb)/2 = (6-2)/2 = 4/2 = 2
yj = (yd + yb)/2 = (- 7+9)/2 = 2/2 = 1
Donc les coordonnées de J sont : J(2 ; 1)
on constate donc que les points I et J ont les mêmes coordonnées
2) justifier que ABCD est un parallélogramme
puisque les diagonales (AC) et (BD) ont même milieu I donc ABCD est un parallélogramme
3) justifier que ABCD est un losange
AB² = (-2-6)²+ (9-3)² = 64+36 = 100 ⇒ AB = √100 = 10
BC² = (- 2+2)²+ (- 1 - 9)² = 100 ⇒ BC = √100 = 10
puisque ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs AB et BC qui sont égaux donc ABCD est un losange
4) justifier que ABCD n'est pas un carré
d'après la réciproque du th.Pythagore
on a, AB²+ BC² = 100+100 = 200
AC² = (-2-6)²+(-1-3)² = 64+16 = 80
la relation AB²+BC² ≠ AC² donc on en déduit que le triangle ABC n'est pas rectangle
donc ABCD n'est pas un carré
Explications étape par étape
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