marwazt2185
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svp aidez moi , merci d'avance. Exercice : Soit n un entier naturel.
1. Montrer que les nombres: n² + 3n+ 4 et
n² - 3n + 4 sont pairs.
2. Montrer que 4 divise n⁴ - n²+ 16. ​

Sagot :

1/ On a

[tex]n {}^{2} + 3n + 4 = n {}^{2} + n + 2n + 4[/tex]

[tex] = n(n + 1) + 2(n + 2)[/tex]

puisque n( n + 1 ) est pair et 2(n+2) est pair alors ( n^2 +3n+4) est pair

On a aussi

[tex]n {}^{2} + 3n + 4 = n {}^{2} + n - 4n + 4[/tex]

[tex] = n(n + 1) - 4(n - 1)[/tex]

puisque les nombres 4(n -1) et n( n+1) sont pairs alors n^2 -3n+ 4 est pair

2/ On sait que (n^2+3n+4) et (n^2-3n +4) sont pairs donc

[tex]n {}^{2} + 3n + 4 = 2k[/tex]

et

[tex]n {}^{2} - 3n + 4 = 2k [/tex]

(avec k appartient à l'ensemble IN )

Donc

[tex](n {}^{2} + 3n + 4)(n {}^{2} - 3n + 4) = 4kk[/tex]

càd

[tex]n {}^{4} - 3n {}^{3} + 4n {}^{2} + 3n {}^{3} - 9n {}^{2} + 12n + 4n {}^{2} - 12n + 16 = 4kk [/tex]

[tex]n {}^{4} + n {}^{2} + 16 = 4kk = 4k [/tex]

avec 4k ( K appartient à l'ensemble IN)

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