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Exercice N°4 Démonstration d'Euclide
On suppose que l'ensemble E des nombres premiers est fini :
E = {2,3;5; 7; ...;p) et on note P = 2 x 3 x 5 x....... xipt 1
1) Démontrer que P n'est pas un nombre premier.
2) Démontrer que P peut s'écrire comme produit d'un entier k et d'un nombre
premier q.
3) Est-ce que P est divisible par un nombre premier appartenant à l'ensemble E?
4) Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.
Svp g trop besoin

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

P=2*3*5*...*p +1

1) Si P est premier, alors l'ensemble E contient P puisque l'ensemble E est l'ensemble fini de tous les nombres premiers. or P n'appartient pas à E par construction.

Donc P n'est pas premier.

2)

De ce fait, comme P n'est pas premier il est divisible par un nombre premier, donc il existe q premier et k réel tels que P=k * q

3) Comme l'ensemble E des nombres premiers est fini, q appartient forcément à E.

4) donc q divise P et q divise P-1 donc q divise P-(P-1)=1

c'est impossible.

Donc il existe une infinité de nombres premiers.

Merci

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