Réponse:
1)
x-1=0 <=> x=1
Dg = ]-∞; 1[U]1; +∞[
2)
g(x) = [x²(2 + 3/x - 3/x²)] / [x(1 - 1/x)] = x(2 + 3/x - 3/x²)]/ (1 - 1/x)
lim (2 + 3/x - 3/x²) = 2
x→+∞
lim(1 - 1/x) = 1
x→+∞
lim (x) = +∞
x→+∞
donc par produit et quotient des limites,
lim g(x) = +∞
x→+∞
lim (2 + 3/x - 3/x²) = 2
x→-∞
lim(1 - 1/x) = 1
x→-∞
lim (x) = -∞
x→-∞
donc par produit et quotient des limites,
lim g(x) = -∞
x→-∞
3)
lim (2x²+3x-3) = 2
x→1
lim (x-1) = 0⁺
x→1⁺
Par quotient des limites :
lim g(x) = +∞
x→1⁺
lim (x-1) = 0⁻
x→1⁻
Par quotient des limites :
lim g(x) = -∞
x→1⁻
4)
[tex]2x + 5 + \frac{2}{x - 1} = \frac{(2x + 5)(x - 1) + 2}{x - 1} \\ = \frac{2 {x}^{2} - 2x + 5x - 5 + 2 }{x - 1} \\ = \frac{2 {x}^{2} + 3x - 3 }{x - 1} \\ = g(x)[/tex]
5)
lim [g(x) -(2x+5)] =
x→+∞
lim 2/(x-1) = 0
x→+∞
lim [g(x) -(2x+5)] =
x→-∞
lim 2/(x-1) = 0
x→-∞
la droite d'équation y = 2x+5 est asymptote oblique à la courbe représentative de g.
lim g(x) = +∞
x→1⁺
La droite d'equation x=1 est asymptote verticale à
la courbe représentative de g.
6)
g'(x)= 2 - 2/(x-1)²
g'(x) = [2(x-1)² - 2]/(x-1)²
g'(x) = 2x(x-2)/(x-1)²
x |-∞ 0 1 2 +∞
2x | - 0 + + +
x-2 | - - - 0 +
(x-1)² | + + 0 + +
g'(x) | + 0 - || - 0 +
| 3 ||+∞ +∞
g | ↗ ↘ || ↘ ↗
-∞ -∞ 11
g est croissante sur ]-∞; 0 ] et sur [2;+∞[
g est decroissante sur [0;1[ et sur ]1;2]
7)
y = g'(0)(x-0)+g(0)
y = 0(x-0) + 3
y = 3
8) voir photo
