Exercice.
1 - Le quadrilatère ABCD est formé par les 4 triangles rectangles identiques AMP, BMN, CNO et DOP. Le quadrilatère ABCD a donc 4 angles droits. De plus, chaque côté a pour longueur a+b. Le quadrilatère ABCD a donc ses 4 côtés de même longueur.
Or, un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 côtés de même longueur est un carré.
Donc le quadrilatère ABCD est un carré .
2 - D'après l'énoncé (question 1), on sait que les points A, M et B sont alignés dans ̂
cet ordre. Donc l'angle AMB mesure 180°.
On sait aussi que les triangles AMP et BMN sont respectivement rectangles en A et
B et qu'ils sont identiques (énoncé question 1). Donc les angles APMetBMN
̂̂
̂̂
sont égaux, de même que les angles AMP et BNM .
De plus, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°.
̂̂̂̂
Donc AMP+APM=AMP+BMN=90° .
̂̂̂̂̂̂ ̂
Or, AMB=AMP+PMN+BMN=90°+PMN , d'où
PMN=AMB−90°=180°−90°=90° .Onpeutdoncconclurequel'angle ̂
PMN estunangledroit.
Le quadrilatère MNOP possède 4 côtés de même longueur et un angle droit.
Or un quadrilatère qui possède 4 côtés de même longueur et un angle droit est un carré. Donc MNOP est un carré.
3 - Le quadrilatère MNOP est un carré de côté c.
On sait que l'aire d'un carré est donnée par la formule côté×côté . Donc l'aire du carré MNOP vaut c2.
4 - Les deux carrés ABCD et EFGH ont la même aire car ce sont deux carrés identiques : ils ont la même longueur de côté, c'est-à-dire, a+b.
5 - Comme les carrés ABCD et EFGH ont la même aire et que les 4 triangles rectangles identiques occupent la même aire dans les deux carrés, on en déduit que l'aire du carré rose est égale à la somme des aires des carrés vert et bleu.
6 - L'aire du carré rose est égale à c2, celle du carré vert est égale à b2 et celle du carré bleu à a2. On en déduit que c2 = a2 +
