Bonjour,
Je vais répondre au 3 et poste d'autres questions pour le reste.
Je vais suivre l'énoncé.
Du coup, cela veut dire que nous rechercher une fonction f sur IR telle que
[tex]u'(x)f(u(x))=\dfrac{x^5}{x^2+4}\\ \\\text{ avec } u(x)=x^2+4,\ \ u'(x)=2x\\ \\f(x^2+4)=\dfrac{x^4}{2(x^2+4)}[/tex]
Ok, on aimerait bien exprimer f(x) en fonction de x mais la puissance quatre au numérateur fait son malin. Bon, ben on va voir ce que fait
[tex](x^2+4)^2=x^4+8x^2+16=x^4+8(x^2+2)=x^4+8(x^2+4-2)[/tex]
Ok donc là ça passe on peut écrire que
[tex]f(x^2+4)=\dfrac{x^4}{2(x^2+4)}=\dfrac{(x^2+4)^2-8(x^2+4-2)}{2(x^2+4)}[/tex]
Maintenant, on efface tout et on recommence la résolution de l'exercice par:
Soit f la fonction définie pour tout réel x supérieur ou égal à 4 telle que
[tex]f(x)=\dfrac{x^2-8(x-2)}{2x}=\dfrac{1}{2}x-4+8\dfrac{1}{x}[/tex]
et [tex]u(x)=x^2+4[/tex] définie pour tout réel x, nous remarquons que [tex]u(x)\geq 4[/tex] et
[tex]\dfrac{x^5}{x^2+4}=u'(x)f(u(x))[/tex]
Je ne suis pas habité à ces notations d'intégrales sans bornes, et je ne sais pas comment écrire que quand x varie sur IR u(x) varie uniquement sur [tex][4;+\infty[[/tex] ce qui justifie que ln(u) existe et je n'ai pas besoin de la valeur absolue
[tex]\displaystyle \int\limits {u'(x)f(u(x))} \, dx\\ \\ =\int\limits {f(u)} \, du \\\\=\dfrac{u^2}{4}-4u+8lnu+C[/tex]
et enfin, il faut remplacer u par [tex]x^2+4[/tex] pour l'expression finale d'une primitive en fonction de x, C étant une constante réelle quelconque.
Merci
