Bonjour,
Pour le 2, je n'ai pas pu assister au cours, du coup je sais pas quelle méthode vous avez vue.
Par contre, pour le 1, je vais t'aider et poste d'autre questions pour le reste, stp car ton devoir est un peu long.
Nous voulons calculer
[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {ln^2x} \, dx[/tex]
Tout d'abord, la fonction ln est bien définie et intégrable sur cet intervalle comme il s'agit d'une fonction continue sur [1;e].
Nous allons procéder comme l'énoncé le stipule par une intégration par parties
pour tout x réel de [1;e], soient u et v les fonctions suivantes, ainsi que leur dérivées,
u(x) = x
u'(x)=1
v(x)=[tex]ln^2x[/tex]
[tex]v'(x)=\dfrac{2lnx}{x}[/tex]
Alors notre intégrale devient
[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {ln^2x} \, dx=\int\limits^e_1 {u'(x)v(x)} \, dx\\ \\=[u(x)v(x)]_1^e-\int\limits^e_1 {u(x)v'(x)} \, dx \\ \\=[xln^2x]_1^e-\int\limits^e_1 {2lnx} \, dx \\\\=e-2\int\limits^e_1 {lnx} \, dx[/tex]
En général, arrivé à ce stade, on a le souvenir vague que nous avons vu une primitive de ln(x) en cours, c'était quelque chose en x(ln(x)-1)
Mais bon, supposons que notre mémoire est défaillante et intéressons nous à
[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {lnx} \, dx[/tex]
u(x)=x, u'(x)=1
v(x)=lnx, v'(x)=1/x
[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {lnx} \, dx=\int\limits^e_1 {u'(x)v(x)} \, dx\\ \\=[u(x)v(x)]_1^e-\int\limits^e_1 {u(x)v'(x)} \, dx \\ \\=[xlnx]_1^e-\int\limits^e_1 {\dfrac{x}{x}} \, dx\\ \\=e-e+1=1[/tex]
De ce fait,
[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {ln^2x} \, dx\\ \\=e-2\int\limits^e_1 {lnx} \, dx\\\\=e-2[/tex]
Merci
