Bonjour,
Si j'ai bien compris, la fonction p est définie par [tex]p(x)=-3x^3+11x^2+24x-20[/tex].
1) On veut trouver [tex]a,b,c \in\mathbb{R}[/tex] tels que [tex]p(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)[/tex].
Pour cela, on développe le membre de droite de l'égalité :
[tex](x+2)(ax^2+bx+c)\\= ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c\\= ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c[/tex]
Tu remarqueras que j'ai regroupé tout ce qui était devant la même puissance de x.
On a donc :
[tex]-3x^3+11x^2+24x-20=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c[/tex]
Par identification (c'est-à-dire que ce qui est devant les différentes puissances de x est forcément égal : c'est ce qui s'appelle l'unicité des coefficients d'un polynôme), on trouve le système suivant :
a = -3
b+2a = 11
c+2b = 24
2c = -20
On peut résoudre facilement ce système. On obtient au final a=-3, b=17, c=-10.
Donc : [tex]\fbox{p(x)=(x+2)(-3x^2+17x-10)}[/tex][tex]p(x)=(x-2)(-3x^2+17x-10)[/tex].
2) Maintenant, c'est simple de factoriser : le deuxième membre du produit est un polynôme du second degré. Il suffit de trouver les racines de -3x²+17x-10 et on trouvera [tex]p(x)=(x-2)(x-x_1)(x-x_2)[/tex] où x1 et x2 sont ces racines :) (je te laisse faire ce calcul)
Reviens vers moi si tu as besoin de plus de précisions :)
Edit suite à la réponse précédente : je suis d'accord avec la réponse à la question 2. Pour la question 1 cependant, je pense que pour le niveau lycée, il vaut mieux utiliser l'identification avec un système plutôt que la division de polynômes qui n'est (à ma connaissance) pas au programme avant bac+1
