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j'ai un dm à faire sur le second degré pouvez vous m'aidez pour le grand II svp
je suis en première

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Tu traces (O₁O₂) et place E , point de tangence des 2 2 cercles.

Tu projettes D en H sur (O₁E).

Comme (AD) est perpendiculaire à (AB) et que (DH) est perpendiculaire à sa // (O₁E) , alors (AD) et (DH) sont une seule et même droite. OK ? Car ça, ça n'est pas dit . OK ?

Par symétrie de la figure , on donc :

HE=DC/2=a/2

On a :

O₁D=R ( car c'est un rayon du cercle O₁).

O₁E=R

O₁H=O₁E-HE=R-a/2

Tu me suis ?

Par ailleurs :

EA=R : tu comprends pourquoi ? Tu n'as qu'à tracer le segment qui part de O₁ et qui sera perpendiculaire à la droite (AB) pour comprendre.

Comme HD=HA-DA , alors HD=R-a

Je récapitule :

Dans le triangle O₁HD , rectangle en H , on a :

O₁D=R ; O₁H=R-a/2 ; HD=R-a

Pythagore :

O₁D²=O₁H²+HD²

R²=(R-a/2)²+(R-a)

R²=R²-aR+a²/4+R²-2aR+a²

Un R² à gauche et à droite s'éliminent.

On arrive à :

-aR+a²/4+R²-2aR+a²=0 soit :

a²+a²/4-3aR+R²=0

On multiplie tous les termes par 4 pour ne plus avoir de dénominateur :

4a²+a²-12aR+4R²=0

5a²-12aR+4R²=0

Ou :

5a²-12R*a+4R²=0

L'inconnue est "a" . On va chercher les racines de cette équation comme si l'on avait :

5x²-12R*x+4R²=0

Donc le "b" de Δ=b²-4ac est ici "-12R". OK ?

Et "-b" vaut donc 12R. OK ?

Tu me suis ?

Δ=b²-4acR =(-12R)²-4*5*4R²=144R²-80R²=64R² > 0

√(64R²)=8R

Tu suis toujours ?

a₁=(12R-8R)/2*5=4R/10=2R/5

a₂=(12R+8R)/10=2R

Or a=AD et AD < AH . Comme AH=R , alors a < R.

Donc on ne retient pas a₂=2R

Donc :

a=2R/5

Ce qui colle avec ma figure où j'ai pris R=4 cm qui donne : a=2*4/5=1.6 cm.

Et sur ma figure : AD=1.6 cm.

Bon courage.

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