Explications étape par étape:
1/ On sait que
[tex]x{}^{3} + y {}^{3} = (x + y)(x {}^{2} - xy + y {}^{2} )[/tex]
Donc
[tex]x {}^{3} + 1 = x {}^{3} + 1 {}^{3} = (x + 1)(x {}^{2} - x + 1)[/tex]
On a
[tex]x = 10 {}^{15} + 1[/tex]
[tex]x = (10 {}^{5} ) {}^{3} + 1 {}^{3} [/tex]
[tex]x = (10 + 1)((10 {}^{5} ) {}^{2} - 10 {}^{5 } + 1)[/tex]
Donc le nombre x n'est pas premier car il a plus que deux diviseurs
On a
[tex]y = 1000000001[/tex]
[tex]y = 10 {}^{3} \times (10 {}^{2} ) {}^{3} + 1[/tex]
[tex]y = (10 \times 10 {}^{2} ) {}^{3} + 1 {}^{3} [/tex]
[tex]y = (1000) {}^{3} + 1 {}^{3} [/tex]
[tex](1000 + 1)((1000) {}^{2} - 1000 + 1)[/tex]
Donc le nombre 1000000001 n'est pas premier
2/
[tex]n {}^{4} + 4 = n {}^{4} + 4n {}^{2} + 4 - 4n {}^{2} [/tex]
[tex](n {}^{2} ) {}^{2} + 4n {}^{2} + 4 - 4n {}^{2} [/tex]
[tex](n {}^{2} + 2) {}^{2} - (2n) {}^{2} [/tex]
[tex](n {}^{2} + 2 - 2n)(n {}^{2} + 2 + 2n)[/tex]
[tex](n {}^{2} - 2n + 2)(n {}^{2} + 2n + 2) [/tex]
Donc le nombre n^4+4 n'est pas premier
