fdilsamia
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montrer que pour tout entier naturel n n(n⁴-1) est divisible par 5 merci de me répondre c'est important pour moi.​

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

"|" se lit divise

n=5*k+r avec k,r naturel et 0<=r<=4

si r=0 alors 5 | n.

sinon

[tex]n^4=(5k+r)^4\\\\=(5k)^4+5*(5k)^3*r+6*(5k)^2*r^2+4*(5k)*r^3+r^4\\\\=5*t+r^4\ ,\ t\ \in\ \mathbb{N} .\\\\n^4-1=5*t+(r^2+1)(r-1)(r+1)\\\\si\ r=1\ alors\ 5\ |\ n^4-1\\\\si\ r=4\ alors\ 5\ |\ n^4-1\\\\si \ r=2\ alors\ r^2+1=5 \ et\ 5\ |\ n^4-1\\\\si \ r=3\ alors\ r^2+1=10 \ et\ 5\ |\ n^4-1\\[/tex]

fsi

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