Réponse :
Bonjour, je pense que tu ne connais pas les dérivées.
1) pour vérifier que (3x+7)/(x+4)=3-5(x+4) soit :
*tu effectues la division euclidienne (3x+7) par (x+4) tu vas trouver q=3 et r=-5
donc (3x+7)=3-5/(x+4) (rappel D=q+r/d )
*tu mets l'expression 3-5(x+4) au même dénominateur
[3(x+4)-5]/(x+4)= (3x+7)/(x+4).
2) Etude de f(x) sur ]-4;+oo[
limites
si x tend vers -4 (avec x>-4) ,(x+4) tend vers 0+ donc -5/(x+4) tend vers -oo
f(x) tend vers +3-oo=-oo
si x tend vers +oo alors x+4 tend vers +oo , le quotient -5/(x+4) tend vers 0
et f(x) tend vers+3
Soient deux valeurs de x (a et b) avec -4<a<b
Calculons le signe de f(b)-f(a)
[3-5/(b+4)]-[3-5/(a+4)]=-5/(b+4)+5/(a+4)
on met au même dénominateur
[-5(a+4)+5(b+4)/(b+4)(a+4) =5(b-a)/(b+4)(a+4)
On note que (b-a)>0, (b+4)>0 et (a+4)>0
conclusion : f(b)-f(a)>0 donc f(x) est croissante
Tableau
x -4 +oo
f(x) -oo................croissante.............3
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Via la dérivée si tu connais (prog. de 1ère)
f'(x)=[3(x+4)-1(3x+7)]/(x+4)²=5/(x+4)² cette dérivée est toujours >0 donc f(x) est croissante sur son Df donc sur ]-4; +oo[.