Réponse :
Bsr,
1.a. vectAB = 2 vectIB
k = 2
b. vectBC = 2 vectBJ
c. Par la relation de Chasles, on a :
vectAC = vectAB + vectBC
vectAC = 2 vectIB + 2 vectBJ
vectAC = 2 (vectIB + vectBJ)
vectAC = 2 vectIJ
2. De la même manière, on obtient :
vectAC = 2 vectLK
On "efface" le vecteur AC pour écrire l'égalité suivante :
2 vectIJ = 2 vectIJ qui évidemment se simplifie en :
vectIJ = vectLK
Conclusion intermédiaire : les côtés IJ et LK sont parallèles.
Avec l'égalité des vecteurs, cela est suffisant pour comprendre que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. Cependant, afin de le prouver, on va se référer à une définition du mot parallélogramme :
Quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.
On recommence avec le vecteur BD.
vectBD = 2 vectJK
vectBD = 2 vectIL
vectJK = vectIL
Les côtés JK et IL sont supportés par des droites parallèles.
On a montré que le quadrilatère IJKL a ses côtés deux à deux parallèles.
Il est donc bien un parallélogramme.
L'info n'est pas nouvelle et je ne pense pas à ce mathématicien français Pierre Varignon.
En traçant les diagonales du quadrilatère ABCD, on distingue des triangles intéressants :
- ABD et BCD avec le côté BD en commun
- ABC et ACD avec le côté AC en commun
Les connaissances de Thalès sur les triangles semblables et la notion de parallélisme de droites (exemple : ABC et IBJ et les droites AC et IJ) permettaient bien avant Jésus Christ d'arriver aux conclusions de Pierre Varignon et à "son" théorème.
2000 ans et des poussières séparent pourtant ces deux mathématiciens.
L'avancée n'est pas spectaculaire. Le théorème reste sympa.
L'occasion de sortir un petit théorème de l'oubli ainsi que son auteur.
A parier qu'il en faut plus aujourd'hui pour avoir un diplôme de mathématicien.