Réponse :
Re bonjour
Explications étape par étape
Comme déjà dit :
Partie C :
1)
f(x)=(3/4)x+1+(x+1)/x²
Quand x tend vers zéro :
lim (x+1)=1
lim (x+1)/x² = lim 1/0²= +inf
lim f(x)=0+1+inf=+inf
Quand x tend vers -inf :
lim (x+1)/x²=lim x/x² = lim 1/x= 0
lim f(x)= -inf+1+0= -inf
Quand x tend vers +inf :
lim (x+1)/x²=lim x/x² = lim 1/x= 0
lim f(x)= +inf+1+0= +inf
2)
On va chercher la dérivée de (x+1)/x² d'abord.
De la forme u/v avec :
u=x+1 donc u'=1
v=x² donc v '=2x
Dérivée de (x+1)/x² :
(u'v-uv')/v²=(x²-2x(x+1)) / x^4=(-x²-2x)/x^4=(-x-2)/x^3
Donc :
f '(x)= (3/4) + (-x-2)/x^3
f '(x)=(3/4)-(x+2)/x^3
f '(x)=[3(x^3-4(x+2)] / 4x^3
f '(x)=(3x^3-4x-8)/4x^3
f '(x)=h(x) / 4x^3
3)
Tu vas avoir compte tenu de la partie A avec α ≈ 1.70 :
x------------>-inf............................0.....................α....................+inf
4x^3----------->.............-..................0........+.....................+.......
h(x)----------->.............-.............................-.............0........+...........
f '(x)---------->................+................||.........-...............0.......+..........
f(x)----------->.................C................||.........D............f(α).......C........
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend
Tu calcules une valeur approchée de f(α) ≈ 3.2
4)
a)
f(x)-[(3/4)x+1]=(x+1)/x²
Quand x tend vers -inf ou +inf :
lim (x+1)/x²=lim x/x²=lim 1/x=0
Donc :
Quand x tend vers - inf ou +inf :
lim f(x)-[(3/4)x+1}=0
Ce qui prouve que le droite D d'équation y=(3/4)x+1 est asymptote à Cf en l'infini.
b)
On résout :
(3/4)x+(x+1)/x²=(3/4)x+1
qui donne :
(x+1)/x²=0
soit :
x+1=0
x=-1
f(1)=-3/4+1=1/4
Point d'intersection : (-1;1/4)
c)
On a vu que :
f(x)-[(3/4)x+1]=(x+1)/x²
x+1 > 0 ===>x > -1
Sur [-1;0[ U ]0;+inf :
(x+1)/x² > 0
Donc :
f(x)-[(3/4)x+1] > 0
Donc :
f(x) > [(3/4)x+1]
Qui prouve que Cf au-dessus de D.
Sur ]-inf;-1] :
(x+1)/x² < 0
Donc :
f(x)-[(3/4)x+1] < 0
Donc :
f(x) < [(3/4)x+1]
Qui prouve que Cf au-dessous de D.
5)
y=f '(1)(x-1)+f(1)
f '(x)=(3x^3-4x-8)/4x^3
f '(1)=-9/4
f(1)=15/4
y=-(9/4)(x-1)+15/4
y=-(9/4)x+9/4+15/4
y=-(9/4)x+6
Partie B :
g(x)=ax+b + (x+1)/x²
g(1)=15/4 donne :
a+b + 2=15/4
b=15/4-2-a
b=7/4-a
J'ai fait la dérivée de (x+1)/x² dans la partie C.
g '(x)=a - (x+2)/x^3
qui donne :
g '(1)=a -3
Mais g '(1)=-9/4
Donc :
a-3=-9/4
a=3-9/4
a=3/4
b=7/4-3/4=4/4=1
Donc :
g(x)=(3/4)x+1+(x+1)/x²
Voir graph joint.
Tu peux remettre ton DM dans un nouveau post en précisant que tu ne veux de réponse que pour la partie A. Si tu as besoin !!
