Bonjour,
[tex]f : x \in \mathbb{R} \mapsto ax^2+bx+c[/tex]
Pour que la suite ait un sens, il faut supposer [tex]a \not =0[/tex], ce qui est implicite dans l'énoncé car sinon f ne serait pas un polynôme de degré 2, mais de degré 1 (voire moins).
1) Puisque le polynôme admet deux racines, son discriminant vérifie [tex]\Delta \ge 0[/tex].
On a alors (c'est encore vrai si [tex]x_1=x_2[/tex]) :
[tex]x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} +\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-2b}{2a}=\dfrac{-b}{a}[/tex].
Ainsi (l'énoncé est faux, ça se voit sur un exemple) :
[tex]\boxed{x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}}[/tex].
De même pour le produit :
[tex]x_1x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \times \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{(-b)^2-(\sqrt\Delta)^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}[/tex].
Or : [tex]\Delta=b^2-4ac[/tex] , donc [tex]b^2-\Delta=4ac[/tex] et donc :
[tex]x_1_1=\dfrac{4ac}{4a^2} \Rightarrow \boxed{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}[/tex].
2)a) Vraie.
Il suffit d'utiliser la formule sur la somme :
[tex]x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=0 \Rightarrow \boxed{x_1=-x_2}[/tex].
b) Vraie.
Essayons la formule sur le produit :
[tex]x_1x_2=\dfrac{c}{a}=1 \overset{?}{\Rightarrow}x_1=\dfrac{1}{x_2}[/tex].
Attention à l'implication surmontée de ? : elle peut être fausse si [tex]x_1[/tex] et/ou [tex]x_2[/tex] est nul !
Cependant, il existe une solution nulle ssi [tex]c=0[/tex], ce qui impliquerait [tex]a=0[/tex], car [tex]a=c[/tex], possibilité qu'on a exclue dès le départ pour que f soit bien du second degré...
Voilà. N'hésite pas à demander des précisions.
