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Sagot :
Réponse :
Bonjour,
Soient un entier n, un entier a et un entier b,
n + 29 = a²
n - 60 = b²
n + 29 = a² ⇔ n = a² - 29
et n s'écrit aussi :
n - 60 = b² ⇔ n = b² + 60
n = n , on a alors :
a² - 29 = b² + 60
a² - 29 = b² + 60 ⇔ a² = b² + 89
a² - 29 = b² + 60 ⇔ a² - b² = 89
a² - b² fait penser à une identité remarquable.
a² - 29 = b² + 60 ⇔ (a + b) (a - b) = 89
L'énoncé précise que 89 est un nombre premier.
Pour l'écrire sous forme d'un produit de deux entiers, une seule possibilité :
89 x 1 = 89
Donc on doit avoir :
a + b = 89
et a - b = 1
Pour résoudre ce système, on peut écrire a = b + 1 et remplacer :
a + b = 89 ⇔ (b + 1) + b = 89
a + b = 89 ⇔ 2 b + 1 = 89
a + b = 89 ⇔ 2 b = 88
a + b = 89 ⇔ b = 44
Pour trouver a (non demandé):
a = b + 1 = 44 + 1 = 45
Mais on nous demande de trouver le nombre n.
n - 60 = b² ⇔ n = b² + 60
n = 44² + 60 = (40 + 4)² + 60 = 1600 + 320 + 16 + 60 = 1996
n + 29 = 1996 + 29 = 2025 = 45²
On a trouvé la valeur du nombre cherché : 1996
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