Bonsoir,
4)a) C'est classique. On cherche à exprimer [tex]v_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]v_n[/tex], pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] :
[tex]v_{n+1}=1+\dfrac{7}{u_{n+1}}=1+7\times\dfrac{u_n+8}{u_n}=8\times \dfrac{u_n+7}{u_n}=8\left(1+\dfrac{7}{u_n}\right)=8v_n[/tex].
Donc [tex](v_n)[/tex] est géométrique de raison 8.
b) On en déduit une expression de [tex]v_n[/tex] en fonction de n, pour tout entier n :
[tex]v_0=v_0\\v_1=8v_0\\v_2=8^2v_0\\\cdots\\v_n=8^n \times v_0 \Rightarrow \boxed{v_n=8^{n+1}}[/tex]
car [tex]v_0=1+\frac{7}{1}=8[/tex].
Ainsi, pour tout n :
[tex]1+\dfrac{7}{u_n}=8^{n+1} \iff 7=u_n(8^{n+1}-1) \iff \boxed{u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}}[/tex].
(On vérifie bien que le dénominateur est non nul...)
c) On retrouve que [tex](u_n)[/tex] tend vers 0, car [tex]\lim_{n \to \infty} 8^{n+1}=+\infty[/tex] car [tex]8>1[/tex].
5)
[tex]u \leftarrow 1\\n \leftarrow 0\\\text{Tant que $u \ge 10^{-8}$, Faire :}\\\cdot \;\; \; \; \; u \leftarrow u/(u+8)\\\cdot \;\; \; \; \; n \leftarrow n+1\\\text{Renvoyer n}[/tex]
