Bonjour,
Exercice 2.
Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
1) Il faut penser à faire +1-1 au numérateur :
[tex]S_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\sum\limits_{k=0}^n \left(\dfrac{k+1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right)=\sum\limits_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right)[/tex]
d'où, en téléscopant :
[tex]\boxed{S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}}[/tex].
2) On a :
[tex]P_n:=\prod\limits_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}\right)=\prod\limits_{k=1}^n\frac{k+1}{k}=\dfrac{2}{1} \times \dfrac{3}{2} \times \cdots \times\dfrac{n}{n-1}\times\dfrac{n+1}{n}[/tex]
d'où : [tex]\boxed{P_n=n+1}[/tex] (toujours vrai si n=0).
Exercice 3 :
Soit [tex]n \in \mathbb{N}^*\backslash\{1\}[/tex].
[tex]\dfrac{1}{n+1} >\dfrac{1}{2n}[/tex] car [tex]2n>n+1[/tex]
et donc :
[tex]\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n} >\dfrac{1}{2n} +\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=n \times \dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}[/tex].
Ainsi :
[tex]\boxed{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}> \dfrac{1}{2}}[/tex].
Exercice 4 :
1) - Pour que [tex]\sqrt{x-1}[/tex] existe, il faut déjà [tex]x \ge 1[/tex].
- On cherche ensuite à savoir quand [tex]x+3-4\sqrt{x-1}[/tex][tex]\ge 0[/tex].
En posant [tex]X=\sqrt{x-1}[/tex], on obtient : [tex]x+3-4\sqrt{x-1}=X^2+1+3-4X=X^2-4X+4=(X-2)^2 \ge 0[/tex]
donc [tex]\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}[/tex] est toujours défini.
- On cherche de même à savoir quand [tex]x+8-6\sqrt{x-1} \ge 0[/tex].
On pose encore [tex]X=\sqrt{x-1}[/tex].
Alors : [tex]x+8-6\sqrt{x-1}=X^2+1+8-6X=X^2-6X+9=(X-3)^2 \ge 0[/tex]
donc [tex]\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/tex] est encore toujours défini.
Ainsi, l'équation est définie pour [tex]x \ge 1[/tex].
2) Soit [tex]x \ge 1[/tex] une solution de (E).
Posons [tex]X=\sqrt{x-1}[/tex].
Alors, l'équation revient à :
[tex]\sqrt{(X-2)^2}+\sqrt{(X-3)^2}=1 \iff |X-2|+|X-3|=1[/tex].
1er cas : Si [tex]X \ge 3 \iff \sqrt{x-1}\ge3 \iff x-1 \ge 9 \iff x \ge 10[/tex] :
L'équation revient à :
[tex]X-2+X-3=1 \iff 2X=6 \iff X=3 \iff \sqrt{x-1}=3 \iff x=10[/tex].
2e cas : [tex]2 \le X \le 3 \iff 2\le \sqsrt{x-1} \le 3\iff 4 \le x-1 \le 9 \iff 5 \le x \le 10[/tex] :
On a :
[tex]X-2+3-X=1 \iff 1=1[/tex]
donc toute valeur de X convient.
3e cas : [tex]X \le 2 \iff x \le 5[/tex] :
On a :
[tex]2-X+3-X=1 \iff X=2 \iff x=5[/tex].
Finalement, l'ensemble des solutions de (E) est : [tex]\boxed{\mathcal{S}=[5,10]}[/tex].
