Bienvenue sur Laurentvidal.fr, le site où vous trouverez des réponses rapides et précises à toutes vos questions. Explorez des milliers de questions et réponses fournies par une communauté d'experts prêts à vous aider à trouver des solutions. Découvrez des réponses détaillées à vos questions grâce à un vaste réseau de professionnels sur notre plateforme de questions-réponses complète.

Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide au sujet de la question 3 de mon exercice de math, niveau Terminal. Les deux premières je les ai déjà faite et j'estime qu'elles sont justes.
pour cette 3ème question, je sais qu'il faut étudier le signe de un+1 - un mais après je ne sais pas comment procéder.
En espérant avoir une réponse, bonne journée !​


Bonjour Jaurais Besoin Dun Peu Daide Au Sujet De La Question 3 De Mon Exercice De Math Niveau Terminal Les Deux Premières Je Les Ai Déjà Faite Et Jestime Quelle class=

Sagot :

Bonjour,

1) On peut conjecturer que [tex](u_n)[/tex] est décroissante et converge vers 0.

2) Montrons par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété H(n): "[tex]u_n \ge 0[/tex]."

Initialisation : n=0

H(0) est vraie car [tex]u_0=1 \ge 0[/tex].

Hérédité : Soit n un entier naturel tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).

On a : [tex]u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}[/tex] et, par HR, [tex]u_n \ge 0[/tex] donc [tex]u_n+8 \ge 0[/tex].

Ainsi, [tex]u_{n+1} \ge 0[/tex], d'où H(n+1).

Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, H(n) est vraie. Autremement dit, pour tout entier naturel n : [tex]u_n \ge 0[/tex].

3) a) Montrons d'abord que [tex](u_n)[/tex] est bien décroissante.

Comme tu l'as dit, on peut étudier le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] :

[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n=\dfrac{-u_n^2-7u_n}{u_n+8}=\underset{\le0}{\underbrace{-u_n}}\times \dfrac{u_n+7}{u_n+8}\le0[/tex]

donc [tex]u_n+1-u_n\le0 \iff u_{n+1} \le u_n[/tex]

d'où : [tex](u_n)[/tex] est décroissante.

Rq : Il aurait été plus simple ici d'étudier [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}[/tex] (on montre d'abord [tex]u_n\not =0[/tex] en adaptant la récurrence de la question 2)):

[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{u_n+8} <1[/tex] car [tex]u_n \ge 0[/tex] donc [tex]u_n+8 >1[/tex], d'où : [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n} <1 \underset{u_n\ge 0}{\underbrace{\iff} }u_{n+1}<u_n[/tex].

b) [tex](u_n)[/tex] est décroissante et minorée (par 0), donc converge vers une limite [tex]l[/tex] telle que [tex]0 \le l[/tex].

En passant à la limite dans [tex]u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}[/tex], on obtient :

[tex]l=\dfrac{l}{l+8} \iff l=0 \text{ ou } l=-7[/tex].

Comme [tex]l=-7[/tex] est exclu car [tex]l \ge 0[/tex], [tex]\boxed{l=0}[/tex].

Merci de votre passage. Nous nous efforçons de fournir les meilleures réponses à toutes vos questions. À la prochaine. Merci de votre visite. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour tous vos besoins en information. À bientôt. Merci de faire confiance à Laurentvidal.fr. Revenez pour obtenir plus d'informations et de réponses.