Bonjour,
4) On va considérer les carrés :
[tex]\left(\sqrt{12+8\sqrt2}\right)^2=12+8\sqrt2[/tex]
et [tex](2+2\sqrt2)^2=4+8\sqrt2+8=12+8\sqrt2[/tex].
Ainsi : [tex]\left(\sqrt{12+8\sqrt2}\right)^2=\left(2+2\sqrt2\right)^2[/tex], donc, comme les nombres entre parenthèses sont positifs (l'un est une racine et l'autre une somme de nombres positifs), ils sont égaux : [tex]\boxed{\sqrt{12+8\sqrt2}\right=2+2\sqrt2}[/tex].
5)d) [tex]X=\cos(x)[/tex] donc [tex]\boxed{-1 \le X \le 1}[/tex] (un cosinus est compris entre -1 et 1).
e) C'est une simple recherche de racines d'un trinôme du second degré :
[tex]\Delta= \left(2(\sqrt2-1)\right)^2+16\sqrt2=12+8\sqrt2[/tex].
Ainsi : [tex]X_{1,2}=\dfrac{-2(\sqrt2-1)\pm\sqrt{12+8\sqrt2}}{8}[/tex][tex]=\dfrac{-2(\sqrt2-1)\pm(2+2\sqrt2)}{8}[/tex].
On a donc : [tex]X_1=\dfrac{4}{8}\boxed{=\dfrac{1}{2}}[/tex] et [tex]X_2=\dfrac{-4\sqrt2}{8}\, \boxed{=-\frac{\sqrt2}{2}}[/tex].
(Ces deux solutions sont bien entre -1 et 1, ce qui n'était pas garanti.)
f) Deux solutions :
[tex]X=X_1 \iff \cos(x)=\dfrac{1}{2} \iff x=\frac{\pi}{3} \text{ ou }x=\frac{-\pi}{3}[/tex]
et
[tex]X=X_2 \iff \cos(x)=-\frac{\sqrt2}{2} \iff x=\frac{3\pi}{4} \text{ ou } x=\frac{-3\pi}{4}[/tex].
6)c) A partir de l'étude précédente, l'ensemble des solutions est :
[tex]\boxed{\mathcal{S}=\left]-\infty,\frac{-\sqrt2}{2}\right[\cup \left]\frac{1}{2},+\infty\right[}[/tex].
d) Sur [tex]]-\pi,\pi][/tex] :
[tex]X > \frac{1}{2} \iff \cos(x)>\frac{1}{2} \iff x \in ]-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}[[/tex]
et [tex]x < \frac{-\sqrt2}{2} \iff x \ge \frac{3\pi}{4} \text{ ou } x \le \frac{-3\pi}{4}[/tex].
Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation sont :
[tex]\boxed{\mathcal{S'}=\left]-\pi,\frac{-3\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{-\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right[ \cup \left]\frac{3\pi}{4},\pi\right].}[/tex]
