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Bonjour j'ai cet exercice en DM et je suis bloquée après la question 1. J'ai besoin d'aide svp :)
Pour la 1 j'ai trouvé:
(E') : X³ + pX + q = 0
avec p = -a²/3 + b et q = (2a³)/27 -(ab)/3 + c


Bonjour Jai Cet Exercice En DM Et Je Suis Bloquée Après La Question 1 Jai Besoin Daide Svp Pour La 1 Jai Trouvé E X PX Q 0 Avec P A3 B Et Q 2a27 Ab3 C class=

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1.

[tex]X=x+\dfrac{a}{3} <=> x= X-\dfrac{a}{3}\\ \\ x^3=X^3-X^2a+Xa^2-\dfrac{a^3}{27}\\ax^2=aX^2+\dfrac{a^3}{9}-\dfrac{2a^2X}{3}\\\\x^3+ax^2+bx+c=X^3-X^2a+Xa^2-\dfrac{a^3}{27}+aX^2+\dfrac{a^3}{9}-\dfrac{2a^2X}{3}+bX-\dfrac{ab}{3}+c[/tex]

Ce qui devient

[tex]X^3+(a^2-\dfrac{2a^2}{3}+b)X+\dfrac{27c-9ab-a^3+3a^3}{27}\\ \\\\\boxed{\sf \bf X^3+\dfrac{a^2+b}{3}X+\dfrac{2a^3-9ab+27c}{27}}[/tex]

2.

a)

L'équation devient

[tex]X^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)\\ \\X^3+pX+q=u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0\\ \\\boxed{u^3+v^3+q} +(\boxed{3uv+p})(u+v)=0[/tex]

Nous voyons bien que si

[tex]\begin{cases}u^3+v^3+q&=0\\3uv+p&=0\end{cases} \\ \\<=>\begin{cases}u^3+v^3&=-q\\uv&=-p/3\end{cases}[/tex]

Alors X est solution de (E')

b)

[tex]\begin{cases}u^3+v^3&=-q\\uv&=-p/3\end{cases}\\\\<=> \begin{cases}U+V=u^3+v^3&=-q\\UV=(uv)^3&=-p^3/27\end{cases}[/tex]

c)

Nous savons du cours que, U et V sont alors solutions de l'équation

[tex](x-U)(x-V)=x^2-(U+V)x+UV=x^2+qx-\dfrac{p^3}{27}=0[/tex]

Utilisons le discriminant pour déterminer les racines.

Tout d'abord comme il est supposé que

[tex]\Delta=q^2+4p^3/27=\dfrac{27q^2+4p^3}{27}>0[/tex]

Alors cette équation admet deux solutions réelles qui sont

[tex]U=\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}\\ \\V=\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]

d)

Et du coup comme

[tex]X=u+v \\\\X=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}\\ \\X = \sqrt[3]{\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}[/tex]

Merci