Réponse :
Bsr,
b.
On peut imaginer (conjecturer) que selon le modèle de calcul, on va chaque fois obtenir le carré d'un entier car cela s'est produit dans les trois essais.
c.
Le début de l'expression est le produit suivant :
n (n + 1) (n + 2) (n + 3)
J'observe ceci :
n (n + 3) = n² + 3 n
Et j'observe aussi :
(n + 1) (n + 2) = n² + 3 n + 2
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = n (n + 3) x (n + 1) (n + 2)
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3 n) x (n² + 3 n + 2)
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3 n + 1 - 1) x (n² + 3 n + 1 + 1)
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = [(n² + 3 n + 1) - 1] x [(n² + 3 n + 1) + 1]
On remarque la forme d'une identité remarquable : (a - b) (a + b) = a² - b²
a = (n² + 3 n + 1)
b = 1
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3 n + 1)² - 1²
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3 n + 1)² - 1
De cette dernière égalité, on peut écrire :
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n² + 3 n + 1)²
J'ai choisi d'aborder cette démonstration SANS passer par le développement du début d'exercice.
L'utiliser facilite sans doute la démarche.
Dans ce cas, développer n (n + 1) (n + 2) (n + 3), ensuite ajouter 1 et comparer avec A dans sa forme développée.