Bonjour,
Affirmation 1 : Fausse.
Contre-exemple : les suites [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] définies pour tout entier naturel n par [tex]u_n=n[/tex] et [tex]v_n=-n[/tex].
Alors, [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] sont divergentes (vers [tex]+\infty[/tex] et [tex]-\infty[/tex] respectivement), mais la suite [tex](u_n+v_n)[/tex] est convergente car il s'agit de la suite nulle (pour tout n, [tex]u_n+v_n=n-n=0[/tex]).
Affirmation 2 : Vraie.
Par exemple : Les suites [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] définies pour tout n non nul par [tex]u_n=10n[/tex] et [tex]v_n=\frac{1}{n}[/tex].
Alors [tex]\lim_{n \to \infty} u_n =+\infty[/tex], [tex]\lim_{n \to \infty} v_n =0[/tex] et [tex]\lim_{n \to \infty} u_n \times v_n= \lim_{n \to \infty} 10n\times \frac{1}{n}=10[/tex].
Affirmation 3 : Fausse.
Contre-exemple : La suite [tex](u_n)[/tex] définie pour tout n non nul par [tex]u_n=\frac{1}{n}[/tex].
Alors [tex](u_n)[/tex] n'a aucun terme nul et converge vers 0.
Mais la suite [tex]\left(u_n+\frac{1}{u_n} \right)[/tex] diverge vers [tex]+\infty[/tex] (car [tex]u_n+\frac{1}{u_n}=\frac{1}{n}+n[/tex] pour tout n).
Rq : Le résultat est vrai si on impose que la limite de [tex](u_n)[/tex] soit non nulle.
Affirmation 4 : Vraie.
Il est clair que [tex](w_n)[/tex] est croissante pour [tex]n \ge 2[/tex] ([tex]w_1=-484[/tex] donc [tex]w_1^4=54\, 875\, 873\,536 >>500[/tex]).
Si elle était majorée, elle convergerait vers [tex]l \in \mathbb{R}[/tex].
Alors, [tex]\lim_{n \to \infty} w_n^4=l^4[/tex].
En passant à la limite dans [tex]w_{n+1}=w_n^4+n-500[/tex], on obtient : [tex]"l-l^4=+\infty"[/tex] ce qui est absurde.
Ainsi, [tex](w_n)[/tex] n'est pas majorée et croissante à partir d'un certain rang.
Donc, [tex]\lim_{n \to \infty} w_n =+\infty[/tex].
