Bonjour,
1) Pour montrer que la courbe représentative de f est au-dessus de l'axe des abscisses, il suffit de montrer que f est positive.
Or, pour tout [tex]x \in ]-1,+\infty[[/tex], [tex]x+1>0[/tex] et [tex]x^2-x+1 \ge 0[/tex] (c'est un polynôme de degré 2 convexe de discriminant -3<0).
Ainsi, pour tout [tex]x \in ]-1,+ \infty[[/tex], [tex]f(x)\ge 0[/tex], donc [tex]\mathcal{C}[/tex] est bien au-dessus de l'axe des abscisses.
2) Pour cela, considérons la fonction g définie sur [tex]]-1,+\infty[[/tex] par
[tex]g(x)=f(x)-(-x+3)=\frac{x^2-x+1}{x+1}+x-3=\frac{x^2-x+1+(x-3)(x+1)}{x+1}=\frac{2x^2-3x-2}{x+1}[/tex].
Le signe de g est donné par celui de [tex]2x^2-3x-2[/tex], qui est un polynôme de degré 2 de discriminant [tex]25[/tex], donc de racines (2 et -1/2).
g est donc négative pour [tex]x \in ]-1,2][/tex] et positive pour [tex]x \ge 2[/tex].
Ainsi, pour [tex]x \in ]-1,2][/tex] , [tex]g(x) \le 0 \iff f(x) \le -x+3[/tex] et, pour [tex]x \ge 2[/tex], [tex]f(x) \ge -x+3[/tex].
Donc, la courbe [tex]\mathcal{C}[/tex] est en-dessous de [tex]\Delta[/tex] sur [tex]x \in ]-1,2][/tex] et au-dessus sur [tex]x \ge 2[/tex].
