Bonjour,
Nous pouvons utiliser la forme canonique
[tex]ax^2+bx+c=0<=> (x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]
Notons
[tex]\large \boxed{\sf \bf \Delta=b^2-4ac}[/tex]
qui est appelé le discriminant de l'équation
- si [tex]\bf \Delta >0[/tex]
il y a deux solutions distinctes
[tex]\boxed{\sf \bf \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}[/tex]
Remarque: La somme des racines vaut [tex]-\dfrac{b}{a}[/tex] et leur produit [tex]\dfrac{c}{a}[/tex]
- si [tex]\bf \Delta = 0[/tex] il y a une unique solution réelle
[tex]\boxed{\bf \dfrac{-b}{2a}}[/tex]
- Sinon il n'y a pas de solutions réelles comme un carré ne peut pas être négatif
Exemple 1 (facile)
Résoudre [tex]x^2-4x+3=0[/tex]
1. en utilisant la forme canonique
[tex]x^2-4x+3=0\\\\ <=> (x-2)^2-4+3=0 \\\\<=> (x-2)^2=1 \\\\<=> x-2=\pm1 \\\\<=> x=1 \ ou \ x =3[/tex]
2. en utilisant le discriminant
[tex]\Delta = 4^2-4*3=16-12=4=2^2 \\ \\ x=\dfrac{4-2}{2}=1 \ ou \\ \\ x=\dfrac{4+2}{2}=3[/tex]
3. en utilisant la propriété sur la somme et le produit des racines
Nous cherchons [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] tel que [tex]x_1+x_2 = 4 = 1 + 3[/tex] et [tex]x_1 \times x_2 = 3 = 3*1[/tex]
3 et 1 conviennent.
Exemple 2 (difficile)
Soit l'équation [tex]x^2+\sqrt{3}x-1=0[/tex]
1. Montrer que cette équation admet deux solutions réelles [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]
[tex]\Delta=3+4=7>0[/tex] Donc il y a deux solutions réelles distinctes
2. Calculer [tex]x_1^2+x_2^2[/tex]
[tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\times x_2=(\sqrt{3})^2-2\times (-1)=3+2=5[/tex]
Merci
