Bonjour,
Comme n est dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] nous avons deux cas possibles
n est positif et alors
E(n)+E(-n)=n-n=0
n est négatif et alors
E(n)+E(-n)=-n+n=0
Donc pour tout n de [tex]\mathbb{Z}[/tex] , E(n)+E(-n)=0
Maintenant, prenons x dans [tex]\mathbb{R}[/tex], par définition
[tex]E(x)\leq x<E(x)+1 \\\\E(-x)\leq -x<E(-x)+1 \\\\x-1-x-1=-2< E(x)+E(-x)\leq 0[/tex]
Mais comme x n'est pas dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], E(x) est différent de x est donc
[tex]E(x)< x<E(x)+1 \\\\E(-x) < -x<E(-x)+1 \\\\x-1-x-1=-2< E(x)+E(-x)< 0[/tex]
Or E(x)+E(-x) est un entier et un entier relatif strictement compris entre 0 et -2 ça ne peut être que -1
Donc E(x)+E(-x)=-1
Prenons x dans [tex]\mathbb{R}^+[/tex], la fonction carrée est croissante sur ce domaine, donc
[tex]E(x)\leq x<E(x)+1 \\ \\(E(x))^2\leq x^2<(E(x)+1)^2 \\ \\E(x^2)\leq x^2<E(x^2)+1 \\ \\\text{donc } -E(x^2)<1-x^2 \\ \\(E(x))^2-E(x^2)<x^2+1-x^2=1[/tex]
Et l'expression de gauche est un entier relatif, donc cela s'écrit aussi
[tex](E(x))^2-E(x^2)\leq 0 <=> (E(x))^2\leq E(x^2)[/tex]
Soit n dans [tex]\mathbb{Z}[/tex]:
Soit il existe p dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] tel que n=2p
E(n/2)+E((n+1)/2)=p+E(p+1/2)=p+p=2p=n
Soit il existe p dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] tel que n=2p+1
E(n/2)+E((n+1)/2)=E(p+1/2)+E(2(p+1)/2)=p+p+1=2p+1=n
Tu peux faire les deux derniers et poste une question si tu bloques
Merci
