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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice, particulièrement pour la question b, je trouve la réponse
[tex]f(x) = arcsin( |x| ) = |arcsin(x)| [/tex]
Mais je n'arrive pas à donner une justification convaincante.
Quelqu'un pourrait-il répondre à la question b dans son entièreté et avec les détails afin que je puisse comprendre la méthode s'il vous plaît.
Merci beaucoup ​


Bonjour Jai Besoin Daide Pour Cet Exercice Particulièrement Pour La Question B Je Trouve La Réponse Texfx Arcsin X Arcsinx TexMais Je Narrive Pas À Donner Une J class=

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

(a) il faut que la racine carrée soit définie donc

[tex]1-x^2\geq 0 <=> x^2\leq 1<=> |x|\leq 1[/tex]

et nous pouvons remarquer que, dans ce cas

[tex]0\leq 1-x^2\leq 1\\<=> \sqrt{1-x^2}\leq 1[/tex]

et Arccos est bien défini

Le domaine de définition est [-1.1]

(b) pour t dans cet interval

[tex]f(sin(t))=Arccos\sqrt{1-sin^2t}=Arrcos(\sqrt{cos^2t})=Arccos(cost)=t[/tex]

car cos(t) est positif sur cet intervalle.

De même

[tex]f(sin(-t))=Arccos\sqrt{1-sin^2(-t)}=Arccos\sqrt{1-sin^2t}=Arrcos(\sqrt{cos^2t})=Arccos(cost)=t[/tex]

Comme la fonction sinus est une bijection de [0;pi2] vers [0,1]

Pour x dans [0,1] il existe t dans [0,pi/2] tel que x = sin(t) et alors on applique le résultat précedent et f(x)=f(sin(t))=t=Arcsin(x)

Pour x dans [-1,0], -x est dans [0,1] il existe t dans [0,pi/2] tel que -x = sin(t)<=> x=-sin(t)=sin(-t) et f(x)=f(sin(-t))=t

Or sur cet interval x=sin(-t) <=> t = Arcsin(-x)

donc f(x)=Arcsin(-x) pour x dans [-1.0]

pour x positif |x| =x

pour x négatif |x|=-x

Donc pour x dans [-1.1] f(x)=Arcsin(|x|)

Merci

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