Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1) Utilise le carroyage de ta feuille et trace deux droites perpendiculaires qui se coupent en E. Sur la droite horizontale place le poit F (à droite de E). Sur la droite verticale place le point G au dessus de E (avec EG différent de EF). Ceci est le repère orthogonal du plan (E; vecEF; vecEG)
Il te reste à placer le point H à gauche de G tel que vecGH=-vecEF et tu as ton parallélogramme EFGH.
2)les coordonnées des points sont E(0; 0); F(1;0); G(0; 1); H(-1; +1) on va ajouter celles de O qui est le milieu de [EG] donc O(0; 1/2)
3) Si R est le symétrique de G par rapport à F; cela signifie que F est le milieu de [ER] donc xF=(xR+xG)/2 donc xR=2xF-xG==2-0=2
et yF=(yR+yG)/2 donc yR=2yF-yG=-1 coordonnées de R(2;-1)
4) S symétrique de H par rapport à G comme pour la question 4
xS=2xG-xH=0-(-1)=1 et yS=2yG-yH=2-1=1 donc S(1; 1)
5) T est le symétrique de O par rapport à G (même méthode )
xT=2xG-xO=0 et yT=2yG-yO=2-1/2=3/2 T(0; 3/2)
6) pour ERFH, on utilise les vecteurs et leurs coordonnées(ou composantes)
vecER : xE=xR-xE=2-0=2 et yER=yR-yE=-1-0=-1 vecER(2; -1)
vecHF: xHF=xF-xH=1-(-1)=2=2 et yHE=yF-yH=0-1=-1 vecHF(2; -1)
ces deux vecteurs sont égaux donc ERFH est un parallélogramme.
Pour HOST G est le milieu de [OT] et de [HS], HOST est donc un parallélogramme mais il y a mieux calculons les longueurs HT et TS
HT²=(xT-xH)²+(yT-yH)²=(0+1)²+(3/2-1)²=1²+(1/2)²=5/4
TS²=(xS-xT)²+(xS-yT)²=1²+(1/2)²=5/4
donc HT=TS=(rac5)/2 ce parallélogramme ayant deux cotés consécutifs égaux c'est un losange .
On aurait pu utiliser les diagonales c'est plus rapide,EFGH est un parallélogramme donc (EF)//(GH)et en plus (EF) perpendiculaire (EG) par construction; on en déduit que les diagonales OT et HS sont perpendiculaires; HOST est donc un losange.
