Bonjour,
1. pour que f soit définie il faut que
4x+1 [tex]\geq[/tex] 0 et
[tex]\sqrt{4x+1}-3[/tex] différent de 0
ça donne
[tex]x\geq -\dfrac{1}{4}[/tex]
et
[tex]\sqrt{4x+1} -3 = 0\\ \\<=> \sqrt{4x+1}=3 \\ \\<=> 4x+1=9\\\\<=> 4x = 8\\ \\<=> x = 2[/tex]
Comme f est définie en x = 2 par f(2)=9/8
le domaine de définition de f est
[tex][-1/4;+\infty[[/tex]
2.
Il faut multiplier par les expressions conjuguées pour lever l'indétermination de la limite de f en x=2
pour tout x dans le domaine de définition de f,
[tex]\dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}\\ \\=\dfrac{(x-\sqrt{x+2})(\sqrt{4x+1}+3)}{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)} \\ \\=\dfrac{(x-\sqrt{x+2})(\sqrt{4x+1}+3)}{4x+1-9} \\ \\=\dfrac{(x-\sqrt{x+2})(\sqrt{4x+1}+3)(x+\sqrt{x+2})}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})} \\ \\=\dfrac{(x^2-x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})} \\ \\=\dfrac{(x-2)(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})} \\ \\=\dfrac{(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x+\sqrt{x+2})}[/tex]
et pour x = 2 ça donne
[tex]\dfrac{3*6}{4*4}=\dfrac{9}{8}[/tex]
Donc f est continue en x=2
car la limite de f en x = 2 est f(2)
merci
