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Bonjour, je suis en terminale et j’ai besoin d’aide pour un dm
J’ai Un+1=(2Un+Vn)/3 avec U0=2
Et Vn+1=(Un+3Vn)/4 avec U0=10
Je dois montrer que la suite Un est croissante et que la suite Vn est décroissante
Pouvez-vous m’aider svp?
Merci et bon dimanche à tous

Sagot :

broucealways

Explications étape par étape:

Bonjour, à 1re vue ce n'est pas évident, il faut essayer des techniques, ça ne marche pas conventionnellement, voici une proposition de solution. Tu as Un+1 - Vn+1 = Un*(2/3 - 1/4) + Vn*(1/3 - 3/4) = (5/12)Un - (5/12)Vn = (5/12)*(Un - Vn).

Posons Rn = Un - Vn, on déduit alors que Rn+1 = (5/12)*Rn, Rn est donc une suite géométrique de raison 5/12, et de premier terme R0 = -8.

Donc Rn = (-8)*(5/12)^n, qui est strictement négatif car 0<5/12<1.

On conclut donc que Un < Vn.

On peut donc étudier le signe de Un+1 - Un : Un+1 - Un = Un(2/3 - 1) + Vn/3 = (-1/3)Un + (1/3)Vn = (-1/3)*(Un - Vn) = (-1/3)*Rn. Comme Rn < 0, on conclut que la différence est strictement positive, d'où Un croissante.

De même, Vn+1 - Vn = (1/4)*(Un - Vn) = (1/4)*Rn < 0 donc Vn décroissante.

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