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Quelqu’un pourra m’aider pour cet exercice de maths s’il vous plaît niveau 1ere.

*Soit ABCD un carré de coté 10 et x un réel. On
construit le point M du segment [AB] tel que AM = x et le point N du segment [BC] tel que BN=2x
(Voir figure ci joint)

1. A quel intervalle appartient x?

2. Calculer l'aire du triangle DMN pour x = 1

3. Déterminer x pour que l'aire du triangle DMN soit minimale

Sagot :

Svant

1. x appartient à [0;5] car 0 ≤ BN ≤10

2. Aire(DMN) = Aire(ABCD) - Aire(ADM) - Aire(MBN) - Aire(DCN)

si x = 1 on a

AM = 1

MB = 9

BN = 2

NC = 8

CD = AD = 10

Aire(DMN) = AB² - AD×AM/2 - MB×BM/2 - NC×CD/2

Aire(DMN) = 10² - 10×1/2 - 9×2/2 - 8×10/2

Aire(DMN) = 46

3.

si x appartient à [0; 5] on a

AM = x

MB = 10-x

BN = 2x

NC = 10-2x

CD = AD = 10

Aire(DMN) = 10² - 10×x/2 - (10-x)(2x)/2 - (10-2x)×10/2

Aire(DMN)= 100 - 5x - 10x + x² - 50 + 10x

Aire(DMN) = x² - 5x + 50

x² - 5x + 50 = (x-2,5)² - 2,5² + 50

x² - 5x + 50 = (x-2,5)²+ 43,75

On note A(x) l'aire du triangle DMN

A(x) = (x-2,5)²+43,75

A(x) est la forme canonique d'un polynôme du second degré dans lequel a=1. La parabole représentant A(x) est orientée vers le haut et A(x) admet un minimum de 43,75 en x = 2,5.

(on peut dresser le tableau de variation de A(x))

L'aire de DMN est minimale pour x = 2,5

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