Bonjour,
1.
[tex]z_0=1-i\\ \\z_1=\dfrac{1}{z_0}=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+i}{1-i^2}=\dfrac{1+i}{2}\\ \\z_2=\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{2}{1+i}=\dfrac{2(1-i)}{1-i^2}=1-i=z_0[/tex]
2.
pour n pair
[tex]z_n=1-i[/tex]
pour n impair
[tex]z_n=\dfrac{1+i}{2}[/tex]
3.
Etape 1 - c'est vrai au rang n = 0
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang k et montrons que cela reste vrai au rang k+1
Soit k est pair et donc [tex]z_k=1-i[/tex] (par hypothèse de récurrence) et k+1 est impair et
[tex]z_{k+1}=\dfrac{1}{z_k}=\dfrac{1}{z_0}=z_1=\dfrac{1+i}{2}[/tex]
Soit k est impai et donc [tex]z_k=\dfrac{1+i}{2}[/tex] (par hypothèse de récurrence) et k+1 est pair et
[tex]z_{k+1}=\dfrac{1}{z_k}=\dfrac{1}{z_1}=z_0=1-i[/tex]
Etape 3 - conclusion, nous venons de démontrer pour tout n entier que
pour n pair
[tex]z_n=1-i[/tex]
pour n impair
[tex]z_n=\dfrac{1+i}{2}[/tex]
Merci
