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On considère la suite (Un)n définie par U0 =3 et pour tout entier naturel n.
Un+1 =3Un/3+2Un

1a-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un>0.
1b-En déduire que la suite (Un)n est strictement décroissante?

2- Pour tout entier naturel n, on pose :Vn=3/Un

a- Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique.
b- En déduire une expression de Vn en fonction de n puis de Un en fonction de n
C- Etudier alors la convergence de la suite U.​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Ton texte semble être Un+1 = 3Un / (2Un + 3)

■ Uo = 3 ; U1 = 1 ; U2 = 0,6 ; U3 = 3/7 ≈ 0,43 ; ...

■ la suite (Un) semble donc bien décroissante ! ☺

■ 1°) récurrons !

       ■ Un+1 = (3Un + 4,5 - 4,5)/(2Un + 3) = 1,5 - 4,5/(2Un + 3)

          donc on doit avoir :

          4,5/(2Un + 3) < 1,5

               3Un + 4,5 > 4,5

                        3Un > 0

                          Un > 0

        ce qui est vérifié puisque Uo = 3 est positif !

       ■ Un+1 - Un = [ 3Un - 2Un² - 3Un ] / (2Un + 3)

                           = -2Un² / (2Un + 3) toujours négatif

          donc la suite (Un) est bien décroissante !

■ 2°) Vn = 3/Un :

        Vo = 1 ; V1 = 3 ; V2 = 5 ; V3 = 7 ; ...

        Vn+1 - Vn = (2Un + 3)/Un - 3/Un = 2Un/Un = 2

        donc la suite (Vn) est bien une suite arithmétique

     croissante de terme initial Vo = 1 et de raison r = 2 .

■ Vn = Vo + 2n = 1 + 2n

   donc Un = 3/(2n + 1)

■ Limite de Un pour n tendant vers l' infini : zéro

   c' est logique puisque (Un) est décroissante et Un est positif .  

■ autre méthode pour la Limite de Un :

L = 3L/(2L + 3) donne 2L² + 3L = 3L donc 2L²  = 0 d' où L = 0          

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