Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
[tex]\left\{\begin{array}{cccc}z_0&=&3+2i\\z_{n+1}&=&(1+i)*z_n+3-2i\\\end{array}\right.\\\\1)\\z_1=(1+i)(3+2i)+3-2i\\=3+3i+2i-2+3-2i\\=4+3i\\\\z_2=(1+i)(4+3i)+3-2i\\=4+4i+3i-3+3-2i\\=4+5i\\[/tex]
[tex]2)\\Si\ la\ limite\ de\ la\ suite\ existe\ alors\\x=(1+i)*x+3-2i\\ix=-3+2i\\x=2+3i\\on\ va\ donc\ poser\\\x_n=z_n-(2+3i)\\\\x_{n+1}=z_{n+1}-(2+3i)\\\\=(1+i)z_n+3-2i-(2+3i)\\\\=(1+i)z_n+1-5i\\\\=(1+i)(z_n-(2+3i))\\=(1+i)*x_n\\x_0=z_0-(2+3i)\\=3+2i-2-3i\\=1-i\\\\x_n=(1-i)*(1+i)^n\\\\z_n=x_n+2+3i\\\\\boxed{z_n=(1-i)(1+i)^n+2+3i}\\[/tex]
Avec la formule exacte, il sera plus facile de faire la démonstration par récurrence.
(Nb: j'ai fait la démonstration directe)
3)
[tex](1+a)^5=1+5a+10a^2+10a^3+5a^4+a^5\\a=i \\(1+i)^5=1+5i-10-10i+5+i\\=-4-4i[/tex]
Je vous laisse le soin de calculer
(1-i)(-4-4i)+2+3i
