audreyburle83
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Bonjour à tous !
"Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le proprio. installe un système de filtration. En journée la masse augmente de 2% puis, à la tombée de la nuit, il actionne pendant 1h le système de filtration qui retire 100kg d'algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas pendant la nuit. Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du système de filtration est de 2000kg. On modélise par a(n) la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après l'utilisation du système de filtration pendant n jours."

1.a) Quelle est la valeur de a(0)?
b) A quoi correspond cette valeur dans le contexte de l'exercice?

2) A l'aide de la calculatrice, déterminer la masse d'algues encore présentes après une semaine de traitement (arrondir à l'unité). Justifier

3.a) Quel semble être le sens de variation de la suite a ?. Justifier
b) Dans cette hypothèse, déterminer le nombre de jours nécessaires pour qu'il n'y ait plus d'algue dans l'étang. Justifier

Merci! Bonne journée

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1) a(0)=2000

  a(0)= valeur initiale de la suite arithmético-géométrique

2)

a(7) voir fichier joint

Méthode mathématique:

[tex]a_0=3000\\a_{n+1}=1.02*a_n-100\\On\ pose\ u_n=a_n-5000\\u_{u+1}=a_{n+1}-5000\\=a_n*1.02-100-5000\\=1.02*(a_n-5000)\\=1.02*u_n\\\\u_0=a_0-5000=2000-5000=-3000\\\\u_n=-3000*1.02^n\\\\a_n=u_n+5000=5000-3000*1.02^n\\\\Ainsi:\\a_7=5000-3000*1.02^7=1553.94299705....\\\\[/tex]

b)

[tex]a_n=5000-3000*1.02^n \leq 0\\\\3000*1.02^n \geq 5000\\\\1.02^n \geq \dfrac{5}{3} \\\\n*ln(1.02)\geq ln(\dfrac{5}{3} )\\\\n\geq \dfrac{ln(\dfrac{5}{3})}{ln(1.02)} )\\\\n \geq 25,795851031571868086611050931701...[/tex]

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