Bonjour,
Nous avons plusieurs méthodes à notre disposition
Méthode 1 - Résoudre en utilisant la forme canonique
Nous pouvons résoudre l 'équation comme ci dessous
[tex]\forall x \in \mathbb{R} \\\\(x-\dfrac{1}{2})^2=x^2-x+\dfrac{1}{4}\text{ donc, }\\ \\x^2-x-1=0 \\\\<=> (x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}-1=0\\ \\<=> (x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{4}\\ \\<=> x-\dfrac{1}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}\\\\<=> x= \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \ ou \ x= \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Donc le nombre d'or est bien solution et l'autre racine est
[tex]x= \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Méthode 2 - Résoudre avec le discriminant
Ou alors, nous pouvons utiliser le discriminant
[tex]\Delta=1+4=5 \\ \\x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\\\x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Méthode 3 - Méthode naïve (suivons les instructions de l 'énoncé)
1. Remplaçons x par le nombre d'or dans l'équation, cela donne
[tex]\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2- \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} -1 \\\\=\dfrac{1+5+2\sqrt{5}}{4}-\dfrac{2+2\sqrt{5}}{4}-\dfrac{4}{4}\\ \\=\dfrac{6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-4}{4}=\dfrac{0}{4}=0[/tex]
Donc le nombre d'or est bien solution de l'équation.
2.
Comme le produit des deux racines est -1 (produit des deux racines de
[tex]ax^2+bx+c[/tex], a différent de 0, est c/a )
Alors l'autre solution est :
[tex]\dfrac{-1}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} =\dfrac{-2}{1+\sqrt{5}}\\\\=\dfrac{-2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}\\\\=\dfrac{-2+2\sqrt{5}}{1-5}\\\\=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Merci
